∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离

所以，二面角B―AB₁―D的大小为

（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

在△ABE中，，在Rt△DFG中，，

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角

（I）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C.

．所以二面角的大小为．

20解：解法一

由（Ⅰ）为平面的法向量．

令得为平面的一个法向量．