8、证明:(1)取PD中点Q, 连EQ , AQ , 则 …1分

　 …………………………………………2分

　………………3分

　 ………………………5分

(2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

. …………………………10分

解:(3)　 …………………………………11分

.

8、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.

(1)证明: ;

(2)证明: ;

(3)求三棱锥BPDC的体积V.

7、解法一：(Ⅰ)证明： 平面平面，平面平面，且，　　　　 .　　

平面 ，　 .

又　 .　　　 ………4分

(Ⅱ)解：作于点，于点，连结.

　平面平面，　　　 ，　

根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.　 　　………….. 6分

设，　 　　　.

，　　　 　，

，　　　　　　　 ………….. 8分

即二面角的大小是.　　　　　　 ……….. 9分

(Ⅲ)解：在底面内分别过作的平行线，交于点，

连结.

则是异面直线和所成的角或其补角.　 ….. 11分

，

， ，

.

易知底面为矩形，从而，

在中，，　　　　　　　　　 ………….. 13分

　 异面直线和所成角的大小为.　　　　　　 ………….. 14分

解法二：作于点，

　平面平面，平面.

过点作的平行线，交于点.

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系 .　　 ………….. 2分

.　

.

，.

　　 ………….. 4分

(Ⅰ)证明：

　　　 .　 又　 .　　　　 　………….. 7分

(Ⅱ)解：作于点，连结.

平面， 根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………….. 8分

在中， ，

　 从而， ………….. 10分

即二面角的大小是.　　　　　 　………….. 11分

(Ⅲ)解：，

，　 异面直线和所成角的大小为.

7、如图，在三棱锥中，，，平面平面.　 　　

(Ⅰ)求证：；　　　　　　　　　　

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求异面直线和所成角的大小.

6、

解法二：

　 (1)解：同解法一………………5分

　 (2)解：建立如图的空间直角坐标系O-xyz，

则A(－1，0，0)，B(1，0，0)，

则P(0，0，)，C(1，2，0)

　　 设为平面PAC的一个法向量，

　　 则

　　 又

　 令z=1，得得

　　 又是平面ABC的一个法向量，设二面角B-AC-P的大小为，

则

………………10分

(2)　 解：设为平面PCD的一个法向量.

则 由D(－1，2，0)，可知)，

可得a=0，令，则c=2.得，

设点A到平面PCD的距离为d，则

　　 ∴点A到平面PCD的距离为

6、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为等边三角形.(1)求PC与平面ABCD所成角的大小；

　 　　　(2)求二面角B-AC-P的大小；

　 　　(3)求点A到平面PCD的距离.

5、方法一：(1)证明：

　　 又平面平面ABCD

　　 平面平面ABCD＝BC，平面ABCD　　　　　　　　　　　 ……2分

　　 在梯形ABCD中，可得

　　 ，即

　　 在平面ABCD内的射影为AO，　　　　　　　　　　　　 ……4分

(2)解：，且平面平面ABCD

　　 ∴DC⊥平面PBC　 　　 平面PBC，

　　 ∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　 　　 ∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，即二面角P-DC-B的大小为60°　 ……8分

　(3)证明：取PB的中点N，连结CN

　　 ∵PC＝BC，∴CN⊥PB　　　　　　　　　　　 ①

　　 ，且平面平面ABCD

　　 平面PBC　　　　　　　　　　 ……………10分

　　 平面PAB　　 平面平面PAB　 ②

　　 由①、②知CN⊥平面PAB

　　 连结DM、MN，则由MN∥AB∥CD

　　 MN＝AB＝CD，得四边形MNCD为平行四边形

　 ∴CN∥DM 　∴DM⊥平面PAB

∵DMÌ平面PAD　　 平面PAD⊥平面PAB ………………12分

方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，

　　 由侧面PBC⊥底面ABCD　　 得PO⊥底面ABCD ……1分

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与

AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz……2分

(1)证明：∵CD＝1，则在直角梯形中，

　　 在等边三角形PBC中，

　　 ，即　 ……4分

　(2)解：取PC中点N，则

　　 平面PDC，显然，且平面ABCD

　　 所夹角等于所求二面角的平面角　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　 　　　二面角的大小为　　　 ……8分

(3)证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为

　　 又　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　 即

平面PAB，平面平面PAB.

5、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，

AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.

　　 (1)求证：PA⊥BD；

　　 (2)求二面角P－DC－B的大小；

　　 (3)求证：平面PAD⊥平面PAB.

4、解：(I)因为平面，

所以平面平面，

又，所以平面，

得，又

所以平面；……………4分

(II)因为，所以四边形为　 菱形，

故，又为中点，知。

取中点，则平面，从而面面，

　　 过作于，则面，

　　 在中，，故，即到平面的距离为。

　　 (III)过作于，连，则，

　　 从而为二面角的平面角，

　　 在中，，所以，在中，，

　　 故二面角的大小为。……………12分

　 解法2：(I)如图，取的中点，则，因为，

　　 所以，又平面，

　　 以为轴建立空间坐标系，

　　 则，，，，，

，，

，由，知，

　　 又，从而平面；……………4分

　　 (II)由，得。

　　 设平面的法向量为，，，所以

，设，则

　　 所以点到平面的距离。……………8分

　　 (III)再设平面的法向量为，，，

　　 所以，设，则，

　　 故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。

4、已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。

(I)求证：平面；

(II)求到平面的距离；

(III)求二面角的大小。