6. 在棱长为2的正方体中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是、AD的中点,那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 ( )
A. B. C. D.
5.棱长都为2的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
4. 设E,F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1与CC1的中点,则直线ED与D1F所成角的大小是 ( )
A. B。 C。 D。
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为
A.60º B. 90º C.105º D. 75º
1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,A A1=1,则点A到平面A1BC的距离为( )
A. B. C. D.
5.设平面α的一个法向量为,点P是平面α外一点,且Po∈α,则点P到平面α的距离是d=.
第2课时 空间向量的坐标运算
|
设a=,b=
(1) a±b=
(2) a= .
(3) a·b= .
(4) a∥b ;ab .
(5) 设
则= , .
AB的中点M的坐标为 .
|
例1. 若=(1,5,-1),=(-2,3,5)
(1)若(k+)∥(-3),求实数k的值;
(2)若(k+)⊥(-3),求实数k的值;
(3)若取得最小值,求实数k的值.
解:(1);
(2); (3)
变式训练1. 已知为原点,向量∥,求.
解:设,
∵∥,∴,,
∴,即
解此方程组,得。
∴,。
例2. 如图,直三棱柱,底面中,CA=CB=1,,棱,M、N分别A1B1、A1A是的中点.
(1) 求BM的长;
(2) 求的值;
(3) 求证:.
解:以C为原点建立空间直角坐标系.
(1) 依题意得B(0,1,0),M(1,0,1)..
(2) 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
.
(3) 证明:依题意得C1(0,0,2),N.
变式训练2. 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1) 在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离;
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离.
解:(1) 建立空间直角坐标系A-BDP,则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1),依题设N(x, 0, z),则=(-x, , 1-z),由于NE⊥平面PAC,
∴
即
,即点N的坐标为(, 0, 1),
从而N到AB、AP的距离分别为1,.
(2) 设N到平面PAC的距离为d,则d=
=.
例3. 如图,在底面是棱形的四棱锥中,,点E在上,且:=2:1.
(1) 证明 平面;
(2) 求以AC为棱,与为面的二面角的大小;
(3) 在棱PC上是否存在一点F,使∥平面?证明你的结论.
解:(1)证明略;
(2)易解得;
(3)解 以A为坐标原点,直线分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系(如图).由题设条件,相关各点的坐标为
所以,,
,设点F是棱上的点,,其中,则.令得
解得,即时,.亦即,F是PC的中点时,共面,又平面,所以当F是PC的中点时,∥平面.
例4. 如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得,其中AB=4,BC=1,BE=3,CF=4.
(1) 求和点G的坐标;
(2) 求GE与平面ABCD所成的角;
(3) 求点C到截面AEFG的距离.
解:(1) 由图可知:A(1,0,0),B(1,4,0),
E(1,4,3),F(0,4,4) ∴
又∵,设G(0,0,z),则(-1,0,z)
=(-1,0,1) ∴z=1 ∴G(0,0,1)
(2)平面ABCD的法向量
,设GE与平面ABCD成角为,则
∴
(3)设⊥面AEFG,=(x0,y0,z0)
∵⊥,⊥,而=(-1,0,1),=(0,4,3)
∴
取z0=4,则=(4,-3,4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为.
变式训练4. 如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且PG=4,,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点.
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值;
(2)求点D到平面PBG的距离;
(3)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,求的值.
解:(1)以G点为原点,为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),
P(0,0,4),故E(1,1,0),=(1,1,0), =(0,2,4)。,
∴GE与PC所成的余弦值为.
(2)平面PBG的单位法向量n=(0,±1,0) .
∵,
∴点D到平面PBG的距离为n |=.
(3)设F(0,y,z),则。
∵,∴,
即,
∴ , 又,即(0,,z-4)=λ(0,2,-4), ∴z=1,
|
对于以下几类立体几何问题:(1) 共线与共面问题;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题;(5) 探索性问题.
运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程.
空间向量章节测试题
4.异面直线间的距离的向量求法:已知异面直线l1、l2,AB为其公垂线段,C、D分别为l1、l2上的任意一点,为与共线的向量,则||=.
3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ=.
2.运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来,从而求得结果.
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com