5．正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个(或三个)角的问题常用正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。

[举例1]已知⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则的最大值为：

A.2　　　　 B. 　　　　　　C.　 2　　　　　　 D.4

解析：=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA= 　①

而条件中的“高”容易联想到面积，　

即　　 ②，将②代入①得：

∴=2(cosA+sinA)=2sin(A+)，当A=时取得最大值2，故选A。

[举例2] 如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，

AB与BC各等于1千米，从三点分别遥望塔M，在

A处看见塔在北偏东45⁰方向，在B处看见塔在正　　　　　　　　　

东方向，在C处看见塔在南偏东60⁰方向，求塔到

直路ABC的最短距离。　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

解析：已知AB=BC=1，∠AMB=45⁰，∠CMB=30⁰，∴∠CMA=75⁰

易见⊿MBC与⊿MBA面积相等，∴AM45⁰= CM30⁰

即CM= AM，记AM=，则CM=，在⊿MAC中，AC=2，由余弦定理得：

4=3²-2²cos75⁰，∴²=,记M到AC的距离为，则²sin75⁰=2

得=，∴塔到直路ABC的最短距离为。

[巩固1] 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.

[巩固2] 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向20的海面B处有一艘走私船正以的速度向北偏东30⁰的方向逃窜，缉私艇以的速度沿　　　　　　 的方向追击，才能最快截获走私船？若=40，则追击时间至少为　　　 分钟。

简答

4．关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。

[举例] △ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120⁰，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：　　　 。

解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC

∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA(△ABC

的外接圆的半径)，记为R，在△ABC中由余弦定理知：

BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7

得：PO=7。

[巩固]已知⊙O的半径为R，若它的内接△ABC中，2R(sin²A-sin²C)=(a-b)sinB,求(1)∠C的大小；(2)△ABC的面积的最大值。

[迁移]直线：过点，若可行域的外接圆直径为，则实数的值是______________

3．三角形内的三角函数问题中，既涉及到边又涉及到角时，往往需要进行边角转换，正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a、b、c(或sinA、sinB、sinC)的齐次式，可以直接用正弦定理转换；而对a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理转换。

[举例1] ⊿ABC的三内角的正弦值的比为4：5：6，则三角形的最大角为　　 。

解析：由正弦定理得：⊿ABC三边的比为4：5：6，不妨设a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)

则边c所对的角C为最大角，cosC=,∴C=arccos。

[举例2]在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²+b²=6c²,则

的值为　　　　

解析：对“切化弦”得：，再由正弦定理得

，再对cosC使用余弦定理得：，将a²+b²=6c²,代入接得原式等于。

[巩固1] 若△ABC三边成等差数列，则B的范围是　　　 ；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是　　　 ；

[巩固2]若三角形三边a、b、c满足a²+c²=b²+ac，且a:c=:2，求角C的大小。

[迁移]已知⊿ABC中，sinA(sinB+cocB)=sinC,BC=3,则⊿ABC的周长的取值范围是

　　　　 。

2.关注点、函数图象(曲线)按某向量平移导致的坐标、解析式(方程)的变化；点M(x,y)按向量(m,n)平移得到点M^‘(x+m,y+n)；曲线C：f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲线

C^/：f(x-m,y-n)=0。函数图象(曲线)按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左(右)、向上(下)平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。[注意]：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。

[举例] 将直线x-by+1=0按向量=(1，-1)平移后与圆x²-4x+y²+3=0相切，则k=　　 。

解析：思路一：直线：x-by+1=0按向量平移即“向右、向下各平移1个单位”，亦即：x变为x-1，y变为y+1，得直线：x-by-b=0，圆：(x-2)²+ y²=1, 直线与圆相切，则有：

得b=。思路二：圆M：(x-2)²+ y²=1按向量-平移(x变成x+1,y变成y-1)后得：圆M^/：(x-1)²+(y-1)²=1, 圆M^/与直线：x-by+1=0相切，有得b=。

思路三：圆心M(2，0)按向量-平移后得M^/(1，1)，M^/到直线的距离为1。

[巩固1]已知点A(1，2)、B(4，2)，向量按=(1，3)平移后所得向量的坐标为(　　 )

(A)(3，0)　 (B)(4，3)　　 (C)(-4，-3)　　　 (D)(-4，3)

[巩固2]若把一个函数的图象按=(－，－2)平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象的函数解析式为 ： A．y=cos(x+)－2；　　　　　 B．y=cos(x－)－2；

C．y=cos(x+)+2；　　　　　　　 D．y=cos(x－)+2

　[迁移]已知函数f(x)= -sinxcosx+3cos²x-,x∈R

(1)　　　 将f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式(其中A>0,0<<2)

(2)　　　 将y=f(x)的图象按向量平移后，所得到的图象关于原点对称，求使|| 得最小的向量。

1．若，则称点分有向线段所成的比为λ。注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当为外分点时λ为负，内分点时λ为正，为中点时λ=1，若起点(x₁,y₁)，终点(x₂,y₂)，则分点(x₀,y₀)的坐标为：x₀=,y₀=。由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则⊿ABC的重心G(，)。

[举例1]设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，，若，则λ的去值范围是：

A．≤λ≤1　　 B．1-≤λ≤1 　　C．≤λ≤1+　 D．1-≤λ≤1+

解析：思路一：，即P分有向线段所成的比为，由定比分点坐标公式得：P(1-λ，λ),于是有=(1-λ，λ)，=(-1,1),=(λ，-λ)，=(λ-1，1-λ)，∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ)

2λ²-4λ+1≤01-≤λ≤1+。思路二：记P(x,y)，由得：

(x-1,y)=(-λ, λ)x=1-λ,y=λ即P(1-λ，λ)，以下同“思路一”。

思路三：=(-1,1)，=(-λ，λ)，=(λ，-λ)，==(1-λ，λ)，

==(λ-1，1-λ)，以下同“思路一”。

[举例2]已知⊿ABC中，点B(-3，-1)，C(2，1)是定点，顶点A在圆(x+2)²+(y-4)²=4上运动，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。

解析：记G(x,y),A(x₀,y₀),由重心公式得：x=,y=,于是有：x₀=3x+1,y₀=3y，

而A点在圆(x+2)²+(y-4)²=4上运动，∴(3x+1+2)²+(3y-4)²=4,化简得：

。

[巩固]已知P是曲线C：y=xⁿ(n∈N^﹡)上异于原点的任意一点，过P的切线分别交X轴，Y轴于Q、R两点，且，求n的值。

[迁移]已知是定义在R上的单调函数，实数，

　　 ，若，则　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　 D．

18．下列两篇作文题，任选其中的一篇，按要求写作。

　(1)以“灵魂高于行走的双脚”为题，写一篇的文章。(70分)

　要求：明确立意，文体自选(诗歌除外)；不得抄袭；字数不少于800字。

　(2)近年来，临近岁末腊月，汉字文化圈就流行对“年度汉字”的评选，即：借汉字的言简意赅、具有高度概括性的特点，评选出一个最能代表该年度的大众心情、象征该年度世态变化、反映该年度社会焦点的汉字。在2009年岁末，《羊城晚报》《重庆晨报》《厦门商报》等报纸以及网络媒体纷纷举行“年度汉字”的评选，“被”“牛”“生”“拆”等汉字分别被评为2000年“年度汉字”。

　请你从“被”“牛”“生”“拆”四个2009年“年度汉字”中选择一个汉字，写一篇作文。

　要求：①理解你选择的这个汉字作为“年度汉字”的内涵；②题目自拟；③文体自定；④字数不少于800字。　

16.根据提供的两个例句，写出新词语“半糖”的意思。(3分)

　例1：半糖哲学之一：一半成熟一半幼稚，做人才有意思。

　　 半糖哲学之二：一半聪明一半愚笨，大智若愚最好。

　例2：写程序的时候也要注意劳逸结合，入迷了也不好，不入迷也不好，要有所入迷，还能迅速退出，尝到甜头就走，所以叫半糖程序。

　　“半糖”的意思是：_　　　　　　　　　　　 　。