1．“重农抑商”是我国封建社会所推行的一项传统政策。该政策首先实行的时期是(　

A、春秋　　 B、战国　　 C、唐朝　　 D、明朝

借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越的多。

例12．如果复数z满足︱z+i︱+︱z-i︱=2,那么︱z+i+1︱的最小值是(　 )

A.1　　　 B.　　　 C.2　　　　 D.

解析：复平面内满足︱z+i︱+︱z-i︱=2的点z的轨迹是线段AB,而︱z+i+1︱表示点Z到P(-1,-1)的距离如图示,

由图知︱z+i+1︱的最小值是1，选A.

以上十种工具是数形结合中常用的模型，熟练掌握这十种模型及相关知识，可以提高同学们数形结合的能力，。

利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角(异面直线的角、线面角、二面角)和空间距离(点线距、线线距、线面距、面面距)，建立坐标系，写出坐标，可以“以数定形”。

例10．如图所示，P是正方形的ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，

求证:(1).PA=EF

(2).PA⊥EF

建立如图的坐标系，设正方形的边长是1，︱︱=,

则A(0,1),P(,),E(,0),F(1, )

∴=(-,1-)　　 =(-1,- )

(1).∵︱︱=(-)+(1-)

　　　　　　 =-+1

　　　 ︱︱=(-1)+ (-)

　　　　　　 =-+1

　　 ∴︱︱=︱︱，即PA=EF

(2). ﹡＝(-)(-1)+(1-)(-)

　　　　　　　　 ＝－－++＝0

　 ∴⊥，即PA⊥EF

例11．如图所示，在棱长为1的正方形ABCD-ABCD中，E,F分别是DD,BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD,H是CG的中点，

⑴．求证：EF⊥BC

⑵．求证：EF与C G所成角的余弦值

⑶．求FH的长

解：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，

E(0,0, )　　 F(,,0)　 C(0,1,0)　 D(0,1,1)

B(1,1,1)　　 G(0, ,0)

(1).证明： =(,,-)　 =(-1,0,-1)

∵·=·(-1)+ ·0+·(-1)=0

∴⊥　　　 ∴EF⊥BC

(2). =(0,- ,-1)

∴∣∣==

由(1)得

∣∣＝　　　 ·＝　　　　　 ∴cos==

(3). ∵H是C G的中点

∴H(,,)即H(0，，)

又∵F(,,0)

∴FH=︱︱==

点评：利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

例9．求sin20+cos50+sin20cos50的值。

解：原式=sin20+sin40+ sin20sin40

　　　　 = sin20+sin40-2 sin20sin40 cos120

设三角形的外接圆半径是，三角形的三边分别是a,b,c,则c= sin20,b= sin40

由余弦定理，原式=a=(2··sin120)=

例7．已知a＞0且a≠1,试求使方程log(x-ak)=log(x-a)

有解的实数k的取值范围。

解：原方程等价于0＜x-ak＝

构造曲线C:y=,直线L:y= x-ak

从而使问题转化为直线L和双曲线C:x-y=a(y≥0)x轴上半部分有交点，求实数k的取值范围,如图所示：

有三条临界直线L、L、L

①　　 当L在L和L之间时，直线L在y轴上的截距

②　　 －ak满足－a＜－ak＜0时L与C有一个交点，

解之可得0＜k＜1

③　　 当L在L上方时，直线L在y轴上的截距－ak满

足a＜－ak时L与C有一个交点，

解之可得k＜－1

　 综合①②可得，所求k的取值范围是

例8．求函数y=+的值域。

解：设m=,　　 n=,　 则m+n=16 (0≤m≤4,0≤n≤2)

原函数可变形为y=m+n,　 y表示直线在n轴上的截距，结合图形可知

y=2,　 y=2

点评：这两道题目可以建立目标函数，然后利用求函数最值的方法解决，但利用圆锥曲线定义数形结合求解，事半功倍，迅速而准确。

例6．已知sin+sin=,　 cos+cos=，　 求tan(+)的值

解:点A(cos，sin)B(cos ,sin)

都在单位圆上，由已知可知A和B的中点C坐标

　(,),则直线AB过定点C

∠xOC= +=

∴tan∠xOC= tan =

∴tan(+)==

点评：另外，单位圆中的三角函数线可以辅助解决三角不等式(组)问题。

求含有两个变量的线性式子的最值，可以构造直线方程，利用截距的意义解决问题。这一应用在线性规划中体现的很充分---求线性目标函数的最值。

例5．已知x,y满足条件＝1，求y-3x的最小值和最大值

解：令y-3x=b,　 即y=3x+b

由联立可得： 169+966y+16b-400=0,令⊿≥0得：

－13≤b≤13

∴y-3x的最小值和最大值分别是－13和13。

求通过变形可以出现的模式的式子的最值问题，可以优先考虑两点间的距离公式的利用

例4．函数y=的最小值为　　　　　 。

解析：函数可化为y=-

这个式子表示P(x,0)到点A(6,4)和点B(2,1)的差，

由右图可知，当P、A、B三点共线时，

︱PA︱-︱PB︱≤︱AB︱,　 ︱AB︱=5

函数取得最大值为5

提示：a+b＝()＝(),表示点(a,b)到原点的距离。

分式型的最值问题可以通过变形,利用斜率公式解决。

例3．函数y=最大值是　　　　 　，最小值是　　　　　　 　。

解：函数解析式表示经过A(－cosx,sinx)和B(2，3)两点连线的斜率k，A在单位圆x+y=1上，经过A和B两点的直线方程为y-3=k(x-2)

即kx-y+3-2k=0,由直线和圆的位置关系得≤1解之可得; 　≤k≤　　　　　 　　　　　　　　

所以函数得最大值是最小值是。

例1．(1)(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_____.

解析：(1)a≤－2；

∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系，

因此有a≤－2.

点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题