9.关于x的方程sinx+cosx+a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。

8.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S　 (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。

7.已知sinθ+cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是　　　　　　　 (　　 )

A. －　　　　　　 B. －　　　　 C.　 　　　　D.　

6.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a　 (a是常数)　　　　　　　 (　　 )

A.有且仅有一个实根　 B.至多一个实根　　 C.至少一个实根　 D.不同于以上结论

5.如果函数f(x)＝x+bx+c对于任意实数t，都有f(2+t)＝f(2－t)，那么(　　 )

A. f(2)<f(1)<f(4)　　　　　　 B. f(1)<f(2)<f(4)　

C. f(2)<f(4)<f(1)　　　　　 　D. f(4)<f(2)<f(1)

4.方程lgx+x＝3的解所在的区间为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　 (0,1)　　　 B.　 (1,2)　　 C.　 (2,3)　　 D.　 (3,+∞)

3．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数

　　 是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

　　　 A．a≤1　　　　　　　　　 B．a<2　　　　　　　　　　 C．1<a<2　　　　　　　　 D．a≤1或a≥2

2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是　　　　　 (　　 )

1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是　　 (　　 )　　　 A． 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．g(t)=(t－1)²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．g(t)=cost

2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力

高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．

函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在区间为(　　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．

(1)证明：

当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则

f(a)=(b+c)a+bc+1．

当b+c=0时，即b=-c，　　 f(a)=bc+1=-c2+1．

因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．

因为|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，　 f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。

例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，　 k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：

分离系数由k·3＜-3+9+2得

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．