2．例二(P104-105 略)

1．若有向量(¹)、，实数λ，使=λ　 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量

若与共线(¹)且||：||=μ，则当与同向时=μ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当与反向时=-μ

从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使=λ

4．例一　 (见P104)略

3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)　　　　　　　　 ①

第一分配律：(λ+μ)=λ+μ　　　　　　　　　　 ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ　　　　　　　　 ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立

如果λ¹0，μ¹0，¹有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||

|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||

　　　　 ∴|λ(μ)|=|(λμ)|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。

　　　 从而λ(μ)=(λμ)

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ¹0，μ¹0，¹

当λ、μ同号时，则λ和μ同向，

∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||

|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向

　　　　 即：|(λ+μ)|=|λ+μ|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向

当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向

还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|

∴②式成立

第二分配律证明：

如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当¹，¹且λ¹0，λ¹1时

1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，

作　 　　λ　 λ　　

则+　　 λ+λ

由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA₁B₁　　 ||=λ||

∴λ　　 ∴△OAB∽△OA₁B₁

∴λ ÐAOB=Ð A₁OB₁

因此，O，B，B₁在同一直线上，||=|λ|　 与λ方向也相同

λ(+)=λ+λ　　

当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ　

∴ ③式成立

==++=3

==(-)+(-)+(-)=-3

　　　　 讨论：1°3与方向相同且|3|=3||

　　　　　　　　　　 2°-3与方向相反且|-3|=3||

2．从而提出课题：实数与向量的积

　　　　 实数λ与向量的积，记作：λ

定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

　 1°|λ|=|λ|||

2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，已知两细绳与水平线分别成30°, 60°角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°

=1 (kg)　 ÐP₁OP=60°　　 ÐP₂OP=30°

∴=cos60°=1•=0.5　　 (kg)

=cos30°=1•=0.87　　 (kg)

　 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg

5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设=, =，试以, 为基底表示, ,

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：==　　 连ND 则DC╩ND

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴==-=-

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 又：==

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴=-=-=--

=(-+)-=-

4．设,　 是两个不共线向量，已知=2+k,　 =+3, =2-, 若三点A, B, D共线，求k的值。

解：=-=(2-)-(+3)=-4

∵A, B, D共线　　　 ∴,共线　　 ∴存在λ使=λ

即2+k=λ(-4)　　　 ∴　　　 　　∴k=-8

2．如图，在△ABC中，=, =　　 AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量

　　　 解一：∵=, =　 则==

∴=+=+而=

∴=+

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵△AEF∽△ABC

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ==　　 ==

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ==

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴=+=+

　 3．在　　 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，

　　　　 解一：==　　　　　　 ==

∴=+=-=-

　=+=+=+

　　　　 解二：设=，=

则+=　　　　　　 +=　　　　 ∴　 =(-)

　 -=　　　　　　　 -=　　　　　　　　 =(+)

　　 即：=(-)　　　 　=(+)

1．当λÎZ时，验证：λ(+)=λ+λ

证：当λ=0时，左边=0•(+)=　 右边=0•+0•=　 分配律成立

　 当λ为正整数时，令λ=n,　 则有：

n(+)=(+)+(+)+…+(+)

=++…+++++…+=n+n

即λ为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令λ=-n(n为正整数)，有

-n(+)=n[-(+)]=n[(-)+(-)]=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n

分配律仍成立

综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立 。