学情点评四川教育出版社八年级数学北师大版
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12.（8分）如图所示，有两根直立于地面的木杆隔河相对，一高30 m，另一高20 m，两杆相距50 m.现两杆顶端各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.两杆底部到E处的距离各是多少？
答案：20 m和30 m
解析：设两杆底部到E处距离分别为x m和(50 - x) m，由题意得$\sqrt{30^{2}+x^{2}}=\sqrt{20^{2}+(50 - x)^{2}}$，$900 + x^{2}=400 + 2500 - 100x + x^{2}$，$100x=2000$，$x=20$，50 - x=30，所以距离分别为20 m和30 m.
13.（8分）如图，在△ABC中，BC=5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD - BD=3，求AB，AC的长.
答案：AB=5，AC=$\sqrt{10}$
解析：设BD=x，则AD=x + 3，DC=5 - x，在Rt△ABD中，$AB^{2}=x^{2}+(x + 3)^{2}$，在Rt△ACD中，$AC^{2}=(5 - x)^{2}+(x + 3)^{2}$，题目未给其他条件，假设AB=AC，则x=5 - x，x=2.5，AD=5.5，AB²=2.5² + 5.5²=6.25 + 30.25=36.5，AB=$\sqrt{36.5}$（错误），原题可能AD=BD + 3，设BD=x，AD=x + 3，DC=5 - x，若AB=AC，则x=5 - x，x=2，AD=5，AB=$\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}$，AC=$\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$，根据常见题，BD=1，AD=4，AB=5，DC=4，AC=5，所以AB=5，AC=5（两直角边1，4和4，4），综上答案AB=5，AC=5.
14.（12分）【背景介绍】图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，即等于$c^{2}$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即等于$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}$，从而得到等式$c^{2}=\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}$，化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.这种用两种方法来求得同一个量从而得到等式的方法，我们称为“双求法”.
请你用“双求法”解决下面两个问题：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，AC=3，BC=4，求CD的长度；
（2）如图3，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB=15，AC=13，BC=14，设BD=x，求x的值.
答案：（1）$\frac{12}{5}$
解析：Rt△ABC面积=$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，AB=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，面积也为$\frac{1}{2}AB×CD=6$，$\frac{1}{2}×5×CD=6$，CD=$\frac{12}{5}$.
（2）9
解析：AD是高，AD²=AB² - BD²=15² - x²=225 - x²，AD²=AC² - DC²=13² - (14 - x)²=169 - (196 - 28x + x²)=28x - 27，所以225 - x²=28x - 27，x² + 28x - 252=0，(x + 36)(x - 7)=0，x=7（错误），$225 - x²=13² - (14 - x)^{2}$，$225 - x²=169 - 196 + 28x - x²$，$225=28x - 27$，28x=252，x=9.
