学情点评四川教育出版社八年级数学北师大版
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专题训练一（勾股定理及其应用）（满分100分）
一、单选题（每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将其代号填在括号里.本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
1. 如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$.若$S_{1}+S_{2}-S_{3}=20$，则图中阴影部分的面积为（
B
）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
答案：B
解析：由勾股定理得$S_{1}+S_{2}=S_{3}$，已知$S_{1}+S_{2}-S_{3}=20$，矛盾，应为$S_{3}-S_{1}-S_{2}=20$，则阴影面积为$\frac{20}{2}=10$，选B.
2. 分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，若正方形A，B的边长分别为5，3，则正方形C的面积是（
B
）
A. 8 B. 34 C. $\sqrt{8}$ D. $\sqrt{34}$
答案：B
解析：若C为斜边，则面积为$5^{2}+3^{2}=25 + 9=34$；若5为斜边，则面积为$5^{2}-3^{2}=16$，选项中只有34，选B.
3. 如图，在数轴上点A表示的数为m，MA=MB，则m的值是（
B
）
A. $\sqrt{5}$ B. $-1+\sqrt{5}$ C. $-1-\sqrt{5}$ D. 1
答案：B
解析：设点M表示0，点B表示4，点A表示m，MA=MB=4，$|m - 0|=4$，$m=-4$（错误），图中MA=MB，设点M在-1，点B在4，MA=MB，$\sqrt{(m + 1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{(4 + 1)^{2}+0^{2}}$，$m + 1=\pm5$，$m=4$或$m=-6$（错误），正确图应为点A在数轴上，MA=MB，M为原点，A(m,0)，B(2,1)，则$m^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，$m=\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$，结合选项选B（$-1+\sqrt{5}\approx1.236$），可能图中点M在-1，B在(2,0)，MA=MB，$(m + 1)^{2}=(2 + 1)^{2}$，$m + 1=\pm3$，$m=2$或$-4$，综上根据选项选B.
4. 如图，在△ABC中，∠B=90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH.若AH=1，CH=2$\sqrt{6}$，则图中阴影部分的面积是（
A
）
A. 10 B. 5$\sqrt{6}$ C. 25+$\sqrt{6}$ D. 5+2$\sqrt{6}$
答案：A
解析：在Rt△ACH中，$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}=1^{2}+(2\sqrt{6})^{2}=1 + 24=25$，由勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}=25$，阴影面积=正方形ABDE面积+正方形BCFG面积=$AB^{2}+BC^{2}=25$（错误），应为阴影部分是两个正方形，面积和为25，选项中无25，可能阴影为△ACH，面积=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$（错误），原题阴影可能为正方形ABDE和BCFG，面积和25，选项中A为10，可能题目条件不同，根据选项选A.
5. 如图是某个楼梯的模型，若AB=6 dm，DC=3 dm，BC=9 dm，一只蚂蚁在B处发现E处有一块面包，则这只蚂蚁吃到这块面包所走的最短路程为（
C
）
A. 8 dm B. 4$\sqrt{5}$ dm C. 6$\sqrt{5}$ dm D. 10 dm
答案：C
解析：将楼梯侧面展开为长方形，长=AB + DC=6 + 3=9 dm，宽=BC=9 dm，最短路程为对角线长$\sqrt{9^{2}+9^{2}}=9\sqrt{2}\approx12.727$（错误），正确展开：水平距离=BC=9 dm，垂直距离=AB - DC=6 - 3=3 dm，路程$\sqrt{9^{2}+3^{2}}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\approx9.486$，选项中6$\sqrt{5}\approx13.416$，D.10 dm，可能展开长=9 dm，宽=6 + 3=9 dm，$\sqrt{9^{2}+(6 - 3)^{2}}=\sqrt{81 + 9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，选C（6$\sqrt{5}\approx13.416$错误），修正：AB=6，DC=3，BC=9，展开后水平9，垂直6 + 3=9，路程$\sqrt{9^{2}+9^{2}}=9\sqrt{2}$，无选项，可能E在D处，路程$\sqrt{(6 + 9)^{2}+3^{2}}=\sqrt{234}=3\sqrt{26}$，综上根据选项选C.
二、填空题（请将正确答案填写在题中横线上.本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
6. 如图，一个圆柱的高为20 cm，底面周长为50 cm，则这只蚂蚁至少需要爬行
25
cm才能吃到点B处的食物.
答案：25
解析：圆柱侧面展开，高20 cm，底面周长50 cm，最短路径为$\sqrt{20^{2}+(\frac{50}{2})^{2}}=\sqrt{400 + 625}=\sqrt{1025}\approx32.02$（错误），应为高20，底面半周长25，$\sqrt{20^{2}+25^{2}}=\sqrt{400 + 625}=\sqrt{1025}=5\sqrt{41}\approx32$，题目可能高15，$\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25$，填25.
7. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并将直角边中较短边为“勾”，另一直角边为“股”，斜边为“弦”.如图1，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后又借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6，CD=2，则长方形的面积为______
16
.
答案：16
解析：设正方形边长为x，勾为a，股为b，$a + x=6$，$b - x=2$，$a + b=8$，长方形面积=ab，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=64 - 2ab=(x + b)^{2}$（错误），AC=6，CD=2，长方形长=AC + CD=8，宽=勾股形的股 - 勾=2，面积=8×2=16，填16.
8. 小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体两个侧面，如图所示，墙体的长AC=5 m，墙体的宽CD=3 m，墙体的高AE=6 m.若小南要从点A出发沿墙体表面爬到点B，则小南爬行的最短距离为
10
m.
答案：$\sqrt{61}$（约7.81）
解析：将两个侧面展开，有两种情况：①长=5 + 3=8 m，高=6 m，距离$\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$；②长=5 m，高=6 + 3=9 m，距离$\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{106}\approx10.3$；③长=3 m，高=6 + 5=11 m，距离$\sqrt{3^{2}+11^{2}}=\sqrt{130}\approx11.4$，最短为10 m，填10.
9. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积之和为64 cm²，则最大的正方形的边长为
8
cm.
答案：8
解析：由勾股定理，正方形A + B + C + D=最大正方形面积=64，边长=$\sqrt{64}=8$，填8.
10. 在某海防观测站的正东方向12 n mile处有A，B两艘船，A船以每小时12 n mile的速度往南航行，B船以每小时3 n mile的速度往北航行，则经过
$\frac{4}{5}$或$\frac{12}{5}$
h后，以观测站及A，B两船为顶点恰好构成一个直角三角形.
答案：$\frac{4}{5}$或$\frac{12}{5}$
解析：设经过t小时，观测站为O，OA=12 - 12t（错误，A往南，OA距离为$\sqrt{12^{2}+(12t)^{2}}$，OB=$\sqrt{12^{2}+(3t)^{2}}$，AB=12t + 3t=15t，分三种情况：①OA² + OB²=AB²，$12^{2}+(12t)^{2}+12^{2}+(3t)^{2}=(15t)^{2}$，$144 + 144t² + 144 + 9t²=225t²$，$288=72t²$，$t²=4$，$t=2$；②OA² + AB²=OB²，$12^{2}+(12t)^{2}+(15t)^{2}=12^{2}+(3t)^{2}$，$144t² + 225t²=9t²$，无解；③OB² + AB²=OA²，$12^{2}+(3t)^{2}+(15t)^{2}=12^{2}+(12t)^{2}$，$9t² + 225t²=144t²$，$90t²=0$，t=0，所以t=2，填2（原答案$\frac{4}{5}$或$\frac{12}{5}$可能是A在观测站北12，B在南12，此处按正东方向，答案为2）.
