学情点评四川教育出版社八年级数学北师大版
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15. (12分)图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时利用起重臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径. 在某次起重作业中，数学兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB=1.3 m，点B到地面CD的距离BC=2 m，AD⊥CD，点B到AD的距离BE=1.2 m. 点A到地面CD的距离为多少米？
答案：2.5米
解析：过点B作BE⊥AD于点E，由题意知BE=1.2m，AB=1.3m，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE=$\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{1.3^2 - 1.2^2}=\sqrt{1.69 - 1.44}=\sqrt{0.25}=0.5$m。因为AD⊥CD，BC⊥CD，BE⊥AD，所以四边形BCDE为矩形，故ED=BC=2m，所以AD=AE + ED=0.5 + 2=2.5m，即点A到地面CD的距离为2.5米。
16. (12分)在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.
(1)①若∠C为直角，则由勾股定理得a² + b² = c². 若∠C为锐角，求证：a² + b² ＞ c².
②若∠C为钝角，试判断a² + b²与c²的关系，并证明.
(2)若a=3，b=4，且△ABC是钝角三角形，求c的取值范围.
答案：(1)①证明见解析；②a² + b² ＜ c²，证明见解析；(2)1 ＜ c ＜ 5且c ≠ 5（或1 ＜ c ＜ √7或5 ＜ c ＜ 7）
解析：(1)①过点A作AD⊥BC于点D，设CD=m，AD=n，在Rt△ADC中，b² = m² + n²，在Rt△ADB中，c² = (a - m)² + n² = a² - 2am + m² + n²，所以a² + b² - c² = a² + m² + n² - (a² - 2am + m² + n²)=2am ＞ 0，故a² + b² ＞ c²。
②过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，设CD=m，AD=n，在Rt△ADC中，b² = m² + n²，在Rt△ADB中，c² = (a + m)² + n² = a² + 2am + m² + n²，所以a² + b² - c² = a² + m² + n² - (a² + 2am + m² + n²)= -2am ＜ 0，故a² + b² ＜ c²。
(2)当∠C为钝角时，c ＞ √(a² + b²)=5，且c ＜ a + b=7；当∠B为钝角时，b² ＞ a² + c²，即16 ＞ 9 + c²，c² ＜ 7，0 ＜ c ＜ √7；当∠A为钝角时，a² ＞ b² + c²，即9 ＞ 16 + c²，c² ＜ -7（无解），又因为三角形三边关系1 ＜ c ＜ 7，综上，1 ＜ c ＜ √7或5 ＜ c ＜ 7。
