学情点评四川教育出版社八年级数学北师大版
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22.（8分）如图，在长方体上有一只蚂蚁从顶点A出发，要爬行到顶点B去找食物，已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2.如果蚂蚁走的是最短路线，你能画出蚂蚁走的路线吗？
答案：能，最短路线长为$3\sqrt{2}$ cm
解析：将长方体侧面展开，有两种情况：①长+宽=2，高=2，路线长$\sqrt{(1 + 1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.828$；②长+高=3，宽=1，路线长$\sqrt{(1 + 2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}\approx3.16$；③宽+高=3，长=1，路线长$\sqrt{(1 + 2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}\approx3.16$，最短路线为$2\sqrt{2}$，画图略.
23.（10分）我国古代数学著作《周髀算经》中记载有“勾三、股四、弦五”.它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边的长一定是5，而且3，4，5这三个数有这样的关系：$3^{2}+4^{2}=5^{2}$.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察如图所示的图形，Rt△ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于$4^{2}+7^{2}$.
答案：（1）能，通过面积法验证，以直角三角形三边为边作正方形，两个小正方形面积和等于大正方形面积，即$3^{2}+4^{2}=5^{2}$
（2）等于，$AB^{2}=4^{2}+7^{2}=16 + 49=65$
解析：（1）用赵爽弦图或割补法，将四个全等直角三角形拼成大正方形，面积关系可证$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.（2）根据勾股定理，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，所以$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=7^{2}+4^{2}=49 + 16=65$.
24.（10分）能够作为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数.我国古代数学著作《九章算术》中给出的勾股数通解公式为$\begin{cases}a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})\\b=mn\\c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})\end{cases}$其中$m＞n＞0$，m，n是互质的奇数.当n=1时，求边长均为正整数，且有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
答案：（3，4，5）或（5，12，13）
解析：当n=1时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-1)$，$b=m$，$c=\frac{1}{2}(m^{2}+1)$.①若b=5，则m=5，$a=\frac{1}{2}(25 - 1)=12$，$c=\frac{1}{2}(25 + 1)=13$；②若a=5，则$\frac{1}{2}(m^{2}-1)=5$，$m^{2}=11$（非整数）；③若c=5，则$\frac{1}{2}(m^{2}+1)=5$，$m^{2}=9$，m=3，$a=\frac{1}{2}(9 - 1)=4$，$b=3$.所以另外两条边长为3，4或12，13.
