全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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专题训练（一） 一元二次方程的解法归纳
解法一 直接开平方法
方法点睛：将一元二次方程变形为$(ax + b)^{2}=c(a\neq0,c\geq0)$的形式后，用直接开平方法解较简便.
1. 解下列方程：
(1)$2x^{2}=1$;
答案：$x_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：方程$2x^{2}=1$，变形为$x^{2}=\frac{1}{2}$，开平方得$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)$(x - 2)^{2}-3=0$;
答案：$x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$
解析：方程$(x - 2)^{2}-3=0$，变形为$(x - 2)^{2}=3$，开平方得$x - 2=\pm\sqrt{3}$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$。
(3)$9(x + 1)^{2}-4=0$;
答案：$x_{1}=-\frac{1}{3}$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$
解析：方程$9(x + 1)^{2}-4=0$，变形为$(x + 1)^{2}=\frac{4}{9}$，开平方得$x + 1=\pm\frac{2}{3}$，解得$x=-\frac{1}{3}$或$x=-\frac{5}{3}$。
(4)$\frac{1}{2}(3y - 1)^{2}-8=0$;
答案：$y_{1}=\frac{5}{3}$，$y_{2}=-1$
解析：方程$\frac{1}{2}(3y - 1)^{2}-8=0$，变形为$(3y - 1)^{2}=16$，开平方得$3y - 1=\pm4$，解得$y=\frac{5}{3}$或$y=-1$。
(5)$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$;
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$
解析：方程$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$，移项得$(2x + 3)^{2}-(3x + 2)^{2}=0$，因式分解为$(2x + 3 - 3x - 2)(2x + 3 + 3x + 2)=0$，即$(-x + 1)(5x + 5)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
解法二 因式分解法
方法点睛：一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法解较简便.
2. 解方程$x^{2}-\sqrt{2}x=0$，较简便的解法是（
B
）
A. 直接开平方法
B. 因式分解法
C. 公式法
D. 配方法
答案：B
解析：方程$x^{2}-\sqrt{2}x=0$，可因式分解为$x(x - \sqrt{2})=0$，用因式分解法较简便，故选B。
3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$x^{2}-3x=4(x - 3)$的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（
D
）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 2.5
答案：D
解析：方程$x^{2}-3x=4(x - 3)$，变形为$x^{2}-7x + 12=0$，因式分解为$(x - 3)(x - 4)=0$，解得直角边为$3$和$4$，斜边为$5$，斜边上的中线长为$\frac{5}{2}=2.5$，故选D。
4. 一元二次方程$x(x - 2)=x - 2$的根是
$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
.
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
解析：方程$x(x - 2)=x - 2$，移项得$x(x - 2)-(x - 2)=0$，因式分解为$(x - 2)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=1$。
5. 解下列方程：
(1)$x(x - 1)+x - 1=0$;
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$
解析：方程$x(x - 1)+x - 1=0$，因式分解为$(x - 1)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
(2)$4(x - 3)^{2}-25(x - 2)^{2}=0$;
答案：$x_{1}=\frac{16}{7}$，$x_{2}=\frac{4}{3}$
解析：方程$4(x - 3)^{2}-25(x - 2)^{2}=0$，变形为$[2(x - 3)]^{2}-[5(x - 2)]^{2}=0$，因式分解为$[2(x - 3)-5(x - 2)][2(x - 3)+5(x - 2)]=0$，即$(-3x + 4)(7x - 16)=0$，解得$x_{1}=\frac{4}{3}$，$x_{2}=\frac{16}{7}$。
(3)$(2x + 1)^{2}+4(2x + 1)+4=0$;
答案：$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$
解析：方程$(2x + 1)^{2}+4(2x + 1)+4=0$，变形为$(2x + 1 + 2)^{2}=0$，即$(2x + 3)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$。
(4)$(x - 2)(x - 3)=6$.
答案：$x_{1}=0$，$x_{2}=5$
解析：方程$(x - 2)(x - 3)=6$，展开得$x^{2}-5x + 6=6$，移项得$x^{2}-5x=0$，因式分解为$x(x - 5)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=5$。
