全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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10. （2024北京期末）关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k + 4)x + 2k + 4=0$．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求$k$的取值范围．
答案：（1）证明见解析；（2）$k< - 1$
解析：（1）$\Delta=(k + 4)^{2}-4(2k + 4)=k^{2}\geq0$，方程总有两个实数根；
（2）方程因式分解为$(x - 2)(x - k - 2)=0$，$x_{1}=2$，$x_{2}=k + 2$，因为方程有一个根小于1，所以$k + 2<1$，解得$k< - 1$
11. 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{2}-mx + 1=0$．
（1）求证：不论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）若$m$为整数，当$m$为何值时，方程有两个不相等的整数根？
答案：（1）证明见解析；（2）$m=0$或$m=2$
解析：（1）当$m=1$时，方程为$-x + 1=0$，解得$x=1$；当$m≠1$时，$\Delta=m^{2}-4(m - 1)=(m - 2)^{2}\geq0$，方程总有实数根；
（2）方程因式分解为$(x - 1)[(m - 1)x - 1]=0$，$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{m - 1}$，因为方程有两个不相等的整数根，所以$\frac{1}{m - 1}$为整数且$\frac{1}{m - 1}≠1$，则$m - 1=\pm1$，当$m - 1=1$时，$m=2$，$x_{2}=1$（不符合题意，舍去）；当$m - 1=-1$时，$m=0$，$x_{2}=-1$，所以$m=0$。
12. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^{2}-6x + 8=0$．
（1）若方程的一个根为$-1$，求$m$的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数$m$的值；
（3）请为$m$选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
答案：（1）$m=-11$；（2）$m=1,2,4$；（3）$m=4$，方程的根为$x_{1}=2$，$x_{2}=4$
解析：（1）将$x=-1$代入方程$(m - 3)x^{2}-6x + 8=0$，得$(m - 3)\times1 -6\times(-1)+8=0$，即$m - 3 + 6 + 8=0$，解得$m=-11$；
（2）当$m=3$时，方程为$-6x + 8=0$，是一元一次方程，有实数根；当$m≠3$时，$\Delta=(-6)^{2}-4\times(m - 3)\times8=36 - 32(m - 3)\geq0$，解得$m\leq\frac{33}{8}=4.125$，所以正整数$m=1,2,3,4$，又因为方程是一元二次方程时$m≠3$，所以满足条件的正整数$m$的值为$1,2,4$；
（3）取$m=4$，方程为$x^{2}-6x + 8=0$，$(x - 2)(x - 4)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
13. （2024宁波期末）如果$m,n$是正实数，方程$x^{2}+mx + 4n=0$和方程$x^{2}+4nx + m=0$都有实数解，求$m + n$的最小值．
答案：$m + n$的最小值为$5$
解析：因为方程$x^{2}+mx + 4n=0$和$x^{2}+4nx + m=0$都有实数解，所以$\Delta_{1}=m^{2}-16n\geq0$，$\Delta_{2}=16n^{2}-4m\geq0$，即$m^{2}\geq16n$，$4n^{2}\geq m$，由$4n^{2}\geq m$可得$n\geq\frac{\sqrt{m}}{2}$，代入$m^{2}\geq16n$得$m^{2}\geq16\times\frac{\sqrt{m}}{2}=8\sqrt{m}$，设$t=\sqrt{m}$（$t>0$），则$t^{4}\geq8t$，$t^{3}\geq8$，$t\geq2$，所以$m=t^{2}\geq4$，当$m=4$时，$4n^{2}\geq4$，$n\geq1$，所以$m + n$的最小值为$4 + 1=5$。
