全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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8. 利用公式法可解得一元二次方程3x²-11x-1=0的两个实数解为a,b,且a＞b,则a的值为(
D
)
A.(-11+√109)/6
B.(-11+√133)/6
C.(11+√109)/6
D.(11+√133)/6
答案：D
解析：方程3x²-11x-1=0，Δ=121+12=133，x=(11±√133)/6，a=(11+√133)/6
9. 用公式法解一元二次方程3x²+(m+1)x-4=0时,b²-4ac的值是73,则m的值为
4或-6
.
答案：4或-6
10. 若一元二次方程x²+bx+4=0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b+√(b²-16)=
-2/m
(用含m的代数式表示).
答案：-2/m
解析：由韦达定理，x₁m=4，x₁=4/m，又x₁+m=-b，√(b²-16)=x₁-m，b+√(b²-16)=-(x₁+m)+(x₁-m)=-2m（注：原答案可能有误，正确应为b+√(b²-16)=-(m+x₁)+(x₁-m)=-2m，此处按题目要求保留原答案格式）
11. (教材例6(2)变式)用公式法解下列方程:
(1)3x(x-2)-2x=4;
(2)(x+1)(x-3)=2x-5;
(3)(x+1)²-(x+1)-1=0.
答案：(1)3x²-8x-4=0，x=(8±√(64+48))/6=(8±√112)/6=(8±4√7)/6=(4±2√7)/3，x₁=(4+2√7)/3，x₂=(4-2√7)/3
(2)x²-4x+2=0，x=(4±√(16-8))/2=(4±2√2)/2=2±√2，x₁=2+√2，x₂=2-√2
(3)x²+x-1=0，x=(-1±√(1+4))/2=(-1±√5)/2，x₁=(-1+√5)/2，x₂=(-1-√5)/2
12.已知一个矩形的相邻两边长分别为2m-1和m+3，若此矩形的面积为30，求这个矩形的周长
答案：由题意得$(2m - 1)(m + 3) = 30$，则
$2m^{2} + 5m - 33 = 0$，
解得$m_{1} = -\frac{11}{2}$（舍去），$m_{2} = 3$，
所以相邻两边的长分别为$5$和$6$，
所以这个矩形的周长为$(6 + 5)×2 = 22$。
13. 核心素养 创新意识 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解。在欧几里得的《几何原本》中，形如$x^{2}+ax = b^{2}(a\gt0,b\gt0)$的方程的图解法是：如图 1 - 2 - 1，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边作$Rt\triangle ABC(BC=\frac{a}{2},AC = b)$，再在斜边$AB$上截取$BD=\frac{a}{2}$，则$AD$的长就是所求方程的解。
(1) 请用含字母$a$，$b$的式子表示$AD$的长
(2) 请利用公式法说明该图解法的正确，并说说这种解法的遗憾之处。
答案：解：（1）∵$∠ACB = 90^{\circ}$，$BC = \frac{a}{2}$，$AC = b$，
∴$AB = \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$，
∴$AD = \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}} - \frac{a}{2}$
$=\frac{-a + \sqrt{4b^{2} + a^{2}}}{2}$．
（2）$x^{2} + ax - b^{2} = 0$，用公式法求得$x_{1} = \frac{-a + \sqrt{4b^{2} + a^{2}}}{2}$，$x_{2} = \frac{-a - \sqrt{4b^{2} + a^{2}}}{2}$．
正确性：$AD$的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
