课内课外直通车九年级数学北师大版四川专版
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1. 若小明用一根长为30 cm的铁丝围成一个直角三角形，使其斜边长为13 cm，则该三角形的面积等于（
B
）．
A. 15 cm²
B. 30 cm²
C. 45 cm²
D. 60 cm²
答案：B
解析：设两直角边为$a$，$b$，则$a + b=17$，$a^{2}+b^{2}=169$，$(a + b)^{2}=289=a^{2}+2ab + b^{2}=169 + 2ab$，解得$ab = 60$，面积为$\frac{1}{2}ab = 30$，选B。
2. 用长为$32m$的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形的一边长为$xm$。
(1)当$x$为何值时，围成的养鸡场的面积为$60m^{2}$？
(2)能否围成面积为$70m^{2}$的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由。
答案：(1)$x = 6$或$x = 10$
解析：另一边长为$16 - x$，面积$x(16 - x)=60$即$x^{2}-16x + 60=0$，$(x - 6)(x - 10)=0$，解得$x = 6$或$x = 10$。
(2)不能
解析：面积$x(16 - x)=70$即$x^{2}-16x + 70=0$，$\Delta=256 - 280=-24＜0$，方程无实数根，不能围成。
1. 已知一块矩形菜地的面积是120 m²，若它的长减少2 m，这块菜地就变成正方形，则原菜地的长是
12
m．
答案：12
解析：设长为$x$，宽为$x - 2$，则$x(x - 2)=120$，即$x^{2}-2x - 120=0$，$(x - 12)(x + 10)=0$，解得$x = 12$。
2.如图 2 - 3 - 1，某小区计划在一个长$30m$、宽$20m$的矩形$ABCD$上修建三条同样宽的通道，使其中两条与$AB$平行，另一条与$AD$平行，其余部分种花草。
要使每一块花草的面积都为$78m^{2}$，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽设计成$x m$，由题意列方程为：
答案：(30 - 2x)(20 - x)=6×78
3. 用$100cm$的金属丝做成矩形框，使其面积分别为：（1）$500cm^{2}$；（2）$625cm^{2}$；（3）$800cm^{2}$。是否能办到？若能，求出它的长和宽
（结果为小数的，精确到$0.1cm$）；若不能，请说明理由。
答案：1. 设矩形的长为$x cm$，则宽为$(50 - x)cm$，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可得面积$S=x(50 - x)$，即$S=-x^{2}+50x$。2. （1）当$S = 500cm^{2}$时：则$-x^{2}+50x = 500$。整理得$x^{2}-50x + 500 = 0$。根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = 1$，$b=-50$，$c = 500$。先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-50)^{2}-4×1×500=2500 - 2000 = 500$。则$x=\frac{50\pm\sqrt{500}}{2}=\frac{50\pm10\sqrt{5}}{2}=25\pm5\sqrt{5}$。$x_1=25 + 5\sqrt{5}\approx25+5×2.24 = 36.2$，$x_2=25 - 5\sqrt{5}\approx25 - 5×2.24 = 13.8$。所以能办到，长约为$36.2cm$，宽约为$13.8cm$。3. （2）当$S = 625cm^{2}$时：则$-x^{2}+50x = 625$。整理得$x^{2}-50x + 625 = 0$。对于方程$x^{2}-50x + 625 = 0$，其中$a = 1$，$b=-50$，$c = 625$。判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-50)^{2}-4×1×625=2500 - 2500 = 0$。由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得$x=\frac{50\pm0}{2}=25$。所以能办到，长和宽均为$25cm$。4. （3）当$S = 800cm^{2}$时：则$-x^{2}+50x = 800$。整理得$x^{2}-50x + 800 = 0$。对于方程$x^{2}-50x + 800 = 0$，其中$a = 1$，$b=-50$，$c = 800$。判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-50)^{2}-4×1×800=2500 - 3200=-700\lt0$。因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。所以不能办到。综上，（1）能办到，长约为$36.2cm$，宽约为$13.8cm$；（2）能办到，长和宽均为$25cm$；（3）不能办到，因为对应的一元二次方程无实数根。
4. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图2 - 3 - 2所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设
$AB = xm$。若花园的面积为$192m^{2}$，求x的值。
答案：解：已知$AB = xm$，篱笆长$28m$，则$BC=(28 - x)m$。根据矩形面积公式$S = AB× BC$，可得方程$x(28 - x)=192$。展开方程得$28x - x^{2}=192$，移项化为标准一元二次方程形式$x^{2}-28x + 192 = 0$。对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-28$，$c = 192$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-28)^{2}-4×1×192$$=784 - 768=16$。则$x=\frac{28\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{28\pm4}{2}$。当$x=\frac{28 + 4}{2}$时，$x = 16$；当$x=\frac{28 - 4}{2}$时，$x = 12$。所以$x$的值为$12$或$16$。
