课内课外直通车九年级数学北师大版四川专版
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5. 如图2-3-3，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图中，每一横行共有______块瓷砖，每一竖列共有______块瓷砖（均用含n的代数式表示）．
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与(1)中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）．
(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值．
(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少钱购买瓷砖？
(5)判断是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，并说明理由．
答案：(1)$n + 3$；$n + 2$
解析：观察图形可得横行瓷砖数为$n + 3$，竖列为$n + 2$。
(2)$y=(n + 3)(n + 2)$
解析：总块数=横行块数×竖列块数。
(3)$n = 20$
解析：$(n + 3)(n + 2)=506$，即$n^{2}+5n + 6=506$，$n^{2}+5n - 500=0$，$(n + 25)(n - 20)=0$，解得$n = 20$。
(4)1604元
解析：由(1)可知横行有$n + 3$块瓷砖，竖列有$n + 2$块瓷砖，当$n = 20$时，总瓷砖数$y=(20 + 3)(20 + 2)=23×22 = 506$块。黑瓷砖数为$4n + 6$，当$n = 20$时，黑瓷砖数为$4×20 + 6=86$块，白瓷砖数为$506 - 86=420$块。费用为$86×4 + 420×3=344 + 1260=1604$元。
(5)不存在
解析：$4n + 6=n^{2}+n$即$n^{2}-3n - 6=0$，$\Delta=9 + 24=33$，n不是整数，不存在。
6. 已知关于x的方程$x^{2}+mx + m - 2=0$．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
答案：(1)$m=\frac{1}{2}$
解析：将$x = 1$代入方程得$1 + m + m - 2=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
(2)证明：$\Delta=m^{2}-4(m - 2)=m^{2}-4m + 8=(m - 2)^{2}+4\geq4＞0$，方程总有两个不相等的实数根。
