1．设集合A=，则为    

       A．    B．    C．    D．

2．两个圆的公切线有且仅有：                     

       （A）1条      （B）2条      （C）3条      （D）4条

3．如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，已知主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的表面积为：   

A．       B．    C．    D．

4．曲线关于直线对称的曲线方程是：

A.      B.       C.        D. 

5．已知向量的夹角为，且在中，，则角的值是：

A.             B.             C.               D. 

6．8．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是

A.             B.           C.           D.

7．定义在上的函数满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的（   ）条件

       A．充分不必要   B．必要不充分   C．充要   D．既不充分有不必要

8．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为                    

                                       （A）          （B）           （C）          （D）

第二部分 非选择题（共110分）

9．已知等差数列的前三项依次为1，，则数列的通项公式是=__________．

10．若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为                                                  

 11．在约束条件下，目标函数的最大值为_________.  

 12．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为                                   

▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.

13．（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线 的距离是                  .

14．（不等式选讲选做题）已知函数 那么不等式的解集为                     .   

15．（几何证明选讲选做题） 如图：PA与圆O相切于A，

PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=，

PA=，PC=1，则圆O的半径等于                ．

16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，且

(1) 求角C的大小；    （2）求△ABC的面积.

17．（本小题共14分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

18.（本小题满分12分）

    四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

    1）求证AB⊥面VAD；

    2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

19．（本小题满分12分）设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．

       （I）求直线AB的方程

       （II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

20．（本小题满分12分）

  已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围

21．(本小题满分14分) 已知数列{a_n}满足a₁＝5，a₂＝5，a_n＋1＝a_n＋6a_n－1(n≥2)．

（1）求证：{a_n＋1＋2a_n}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）设3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)，且|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m对于n∈N^＊恒成立，求m的取值范围．

东里中学2008―2009第二学期第一次考试

数学答题卡(理科)

注意事项：⒈ 答题卷共4页，用钢笔或黑色（蓝色）签字笔直接答在试题卷中。

⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号

一

二

三

总分

16

17

18

19

20

21

分数

1             2              3             4            

[A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D] 

       5             6              7             8          

[A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D] 

9．______   10.____      11. ________    12.             

三选二：13.__             14.                  15.       

17（本小题满分14分）

18（本小题满分12分）

19（本小题满分14分）

20（本小题满分14分）

21（本小题满分14分）

汕头市东里中学2008―2009年第二学期第一次考试

9． __  10．  -6    11．2   12．  13．14．     15．7

解析：由圆的性质PA=PC?PB，得，PB=12，连接OA并反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,J记圆的半径为R,由于ED?DA=CD?DB因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7

 16． (1) 解：∵A+B+C=180° 由

  …………1分

    ∴   ………………3分

    整理，得   …………4分 解 得：   ……5分

    ∵  ∴C=60°   ………………6分

（2）解：由余弦定理得：c²=a²+b²－2abcosC，即7=a²+b²－ab  …………7分

∴   ………………8分  由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分     

……10分∴   …………12分

17．解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，

所以直线的斜率为．……（2分）又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．即．…………（4分）

（II）由解得点的坐标为，…………（6分）

因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．

又半径．矩形外接圆的方程为．……（9分）

（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，即．………………（11分）

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．………………（14分）

18．证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，…………（1分）

而面VAD⊥底面ABCD，而面VAD底面ABCD平面，则VE⊥AB…………（4分）

ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD……（6分）

证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为，………2分

则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），

∴……3分

由…………4分

……5分

又AB∩AV=A  ∴AB⊥平面VAD…………………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量……………………7分

设是面VDB的法向量，则

……9分

∴，……………11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分

19．解：（I）依题意，可设直线AB的方程为 y=k(x－1)＋2，

代入  ，整理得

                                                               ①

记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁，x₂则是方程①的两个不同的根，所以2－k²≠0，且

，

由N(1，2)是AB的中点得

，

∴ k(2－k)=2－k²，

解得k=1，所以直线AB的方程为

y=x＋1

（II）将k=1代入方程①得x²－2x－3=0

解出  x₁=－1，x₂=3

由 y=x＋1得 y₁=0，y₂=4。

即A、B的坐标分别为(－1，0)和(3，4)。

由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为

y=－(x－1)＋2，

即 y=3－x。

代入双曲线方程，整理得 x²＋6x－11=0。                                                       ②

记C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，以及CD的中点为M(x₀，y₀)，则x₃，x₄是方程②的两个根。所以x₃＋x₄=－6，x₃x₄=－11。

从而

∴

又

即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。

20．

（Ⅰ）解：.

因为是的一个极值点,所以,即.

所以

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知

 当时,有,当变化时与的变化如下表:

1

<0

0

>0

0

<0

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

由上表知,当时,在单调递减,在单调递增,　在单调递减

（Ⅲ）解法一:由已知,得,即.

.

.

即.               （*）

设,其函数图象的开口向上.

由题意(*)式恒成立,

                  又.

即的取值范围是

解法二：由已知,得，即，

        . .          (*)

              时. (*)式化为怛成立..

              时.

                        (*)式化为 ．

令,则,记 ,

则在区间是单调增函数

．

由(*)式恒成立,必有又．

．

综上、知

21．(本小题满分14分) 已知数列{a_n}满足a₁＝5，a₂＝5，a_n＋1＝a_n＋6a_n－1(n≥2)．

（1）求证：{a_n＋1＋2a_n}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）设3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)，且|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m对于n∈N^＊恒成立，

求m的取值范围．

20．（本小题满分14分）

（1）由a_n＋1＝a_n＋6a_n－1，a_n＋1＋2a_n＝3(a_n＋2a_n－1) (n≥2)

　　　　　　∵a₁＝5，a₂＝5　　∴a₂＋2a₁＝15

故数列{a_n＋1＋2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列………………5分

　　　　（2）由（1）得a_n＋1＋2a_n＝5?3ⁿ

由待定系数法可得(a_n＋1－3^n＋1)＝－2(a_n－3ⁿ)

　　　　　　即a_n－3ⁿ＝2(－2)^n－1

故a_n＝3ⁿ＋2(－2)^n－1＝3ⁿ－(－2)ⁿ…………………………………………10分

　　　　（3）由3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)＝n[3ⁿ－3ⁿ＋(－2)ⁿ]＝n(－2)ⁿ，∴b_n＝n(－)ⁿ

             令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ

 　　　　　　　S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1

…………12分

得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹

＝－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹

∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜6

要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m对于n∈N^＊恒成立

只须m≥6………………………………………………………14分