（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）

答：144

（21）（本小题满分7分）

在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依次为Z₁，Z₂，Z₃，O（其中O是原点），已知Z₂对应复数。求Z₁和Z₃对应的复数。

解：设Z₁，Z₃对应的复数分别为

依题设得

（22）（本小题满分10分）

求的值。

解：原式=

（23）（本小题满分12分）

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。

（Ⅰ）求证：AF⊥DB;

（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角。

D              C      

    F                

A        H     B       

       E             

（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，

DA⊥平面ABE

∵BE平面ABE，

∴DA⊥EB.

∵AB是圆柱底面的直径，

点E在圆周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得

EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得

AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB

∴AF⊥DB.

（Ⅱ）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH.

根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线，且EH平面ABE，

∴EH⊥平面ABCD.

又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，

从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.

设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是V_圆柱=2πR³，

V_D-ABE=AD?S_△ABE=?EH.

V_圆柱:V_D-ABE=3π,得EH=R.

可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，

DH=

∴∠EDH=

（24）（本小题满分12分）

某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：

当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。

（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;

（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

解：（Ⅰ）依题设有

化简得

当判别式时，可得

解不等式组①，得不等式组②无解。

故所求的函数关系式为

函数的定义域为[0，]

（Ⅱ）为使，应有

化简得

解得

从而政府补贴至少为每千克1元。

（25）（本小题满分12分）

设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）是否存在常数c>0使得

成立？并证明你的结论。

（Ⅰ）证明：设的公比为，由题设知

（1）当时，从而

（2）当时，从而

由（1）和（2）得

根据对数函数的单调性，知

即

（Ⅱ）解：要使

成立，则有

分两种情况讨论：（1）当时，

可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立。

（2）当时，若条件①成立，因

且故只能有即

此时，

但时，不满足条件②，

即不存在常数c>0，使结论成立。

证法二：用反证法.假设存在常数c>0，使

，

则有

由（4）得

根据平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知

因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。

故不存在常数c>0，使

（26）（本小题满分12分）

已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|².当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为

        y                     

               P              

         Q R                  

       O                x     

（x_P,y_P),（x_R,y_R),（x,y),

其中x,y不同时为零.

当点P不在y轴上时，

由于点R在椭圆上及点O，

Q，R共线，得方程组

解得

由于点P在直线上及点O，Q，P共线，

解方程组

解得

当点P在y轴上时，经检验（1）~（4）式也成立

由题设|OQ|?|OP|=|OR|²，得

将（1）~（4）式代入上式，化简整理得

因x与x_P同号或y与y_P同号，以及（3），（4）知，

故点Q的轨迹方程为

所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

解法二：由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为

（x_P,y_P),（x_R,y_R),（x,y),其中x,y不同时为零.

设OP与x轴正方向的夹角为，则有

由上式及题设|OQ|?|OP|=|OR|²，得

由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组

将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），

整理得点Q的轨迹方程为

所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

解法三：投影法

设P，R，Q的坐标分别为（x_P,y_P),（x_R,y_R),（x,y),其中x,y不同时为零.

由题设|OQ|?|OP|=|OR|²

设OP的方程为

这就是Q点的参数方程，消去参数k得

当P在y轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程，

故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

解法四：极坐标法

在极坐标系OX中，设∠POX=

由得

由得

由|OQ|?|OP|=|OR|²得即

将（1），（2）代入（3）

故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

一九九五年（文科）

（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，则                       （ B ）

(A) y          (B)     y        (C)  y        (D)   y          

      o 1     x     -1 o      x      o  1     x    -1  o    x 

（A）{0}  （B）{-3，-4}  （C）{-1，-2}  （D）

（2）函数的图象是                       （ D ）

（3）函数的最小正周期是  （ C ）

（A）      （B）      （C）     （D）

（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是                                          （ B ）

（A）     （B）     （C）    （D）

（5）若图中的直线的斜率分别为，则    （ D ）

         y                   

         O                  

                        x   

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）双曲线的渐近线方程是               （ C ）

（A）  （B）   （C）  （D）

（7）使成立的的取值范围是            （ A ）

（A） （B）    （C）  （D）

（8）圆的位置关系是    （ C ）

（A）相离    （B）外切     （C）相交      （D）内切

（9）已知是第三象限角，且，那么等于

（A）   （B）     （C）      （D）（ A ）

（10）如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，

  D₁      F₁      C₁   

A₁     E₁        B₁   

   D              C   

A              B     

B₁E₁=D₁F₁=，则BE₁与DF₁所成角

的余弦值是                （ A ）

（A）          （B）

（C）          （D）

（11）已知是x的减函数，则的取值范围是（ B ）

（A）（0，2） （B）（0，1）  （C）（1，2）  （D）（2，+）

（12）在的展开式中，的系数是          （ D ）

（A）-297     （B）-252     （C）297     （D）207

（13）已知直线，直线.有下面四个命题：（ D ）

①       ②

③       ④

其中正确的两个命题是

（A）①与②  （B）③与④   （C）②与④   （D）①与③

（14）等差数列的前n项和分别为与，若

等于                                      （ C ）

（A）1      （B）      （C）       （D）

（15）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有                                 （ A ）

（A）24个    （B）30个    （C）40个    （D）60个

（16）方程的解是__________

答：3

（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______

答：

(18)函数的最大值是_______

答：

（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，则被抛物线截得的线段长为_______

答：4

（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）

答：144

（21）（本小题满分7分）

解方程

解：设，则原方程可化为

所以原方程的解为x=2.

（22）（本小题满分12分）

设复数求复数的模和辐角。

解：

所以复数的模为;

辐角为

（23）（本小题满分10分）

设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。

证明

证明：设的公比为，由题设知

（1）当时，从而

（2）当时，从而

由（1）和（2）得

根据对数函数的单调性，知

即

证法二：设的公比为，由题设知

即（以下同证法一）

（24）（本小题满分12分）

如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。

（Ⅰ）求证：AF⊥DB;

（Ⅱ）如果AB=，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求点E到截面ABCD的距离。

D              C      

    F                

A              B       

       E             

（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，

DA⊥平面ABE

∵BE平面ABE，

∴DA⊥EB.

∵AB是圆柱底面的直径，

点E在圆周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得

EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得

AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB

∴AF⊥DB.

（Ⅱ）解：设点E到平面ABCD的距离为d

记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。

S_△ABD=AB?AD=

V_D-ABE=V_E-ABD=S_△ABD=

又V_圆柱=π?AD=，

由题设知

即

（25）（本小题满分12分）

某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：

当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。

（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;

（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

解：（Ⅰ）依题设有

化简得

当判别式时，可得

解不等式组①，得不等式组②无解。

故所求的函数关系式为

函数的定义域为[0，]

（Ⅱ）为使，应有

化简得

解得

从而政府补贴至少为每千克1元。

（26）（本小题满分12分）

已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|².当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为

        y                     

                   P           

            R                   

          Q                    

       O                x     

（12,y_P),（x_R,y_R),（x,y),

由题设知x_R,>0,x>0.

由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组

解得

由点O，Q，P共线，得

即

由题设|OQ|?|OP|=|OR|²，得

将（1）、（2）（3）式代入上式，整理得点Q的轨迹方程

所以点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴分别为1和且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点。

一九九六年（理科）

（1）已知全集I=N，集合，。则                                              （ C ）

（A） （B） （C） （D）

（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是                                              （ A ）

(A) y          (B)   y         (C)    y        (D)      y      

    o   1    x   o    1    x      o  1     x      o  1    x 

（3）若，则x的取值范围是             （ D ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）复数等于                              （ B ）

（A）  （B）  （C）  （D）

（5）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有                                      （ A ）

（A）且             （B）且

（C）且             （D）且

（6）当时，函数的          （ D ）

（A）最大值是1，最小值是-1

（B）最大值是1，最小值是

（C）最大值是2，最小值是-2

（D）最大值是2，最小值是-1

（7）椭圆的两个焦点坐标是             （ B ）

（A）（-3，5），（-3，-3）  （B）（3，3），（3，-5）

（C）（1，1），（-7，1）    （D）（7，-1），（-1，-1）

（8）若，则等于 （ A ）

（A）      （B）     （C）   （D）

（9）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为                             （ D ）

（A）     （B）      （C）   （D）

（10）等比数列的首项，前n项和为，若，则等于                                        （ B ）

（A）      （B）        （C）2      （D）-2

（11）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是                                      （ C ）

（A）（3，0），（1，）  （B）（），（）

（C）（2，），（2，） （D）（），（）

（12）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为                                     （ C ）

（A）130     （B）170    （C）210     （D）260

（13）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为                                         （ A ）

（A）2      （B）     （C）      （D）

（14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角等于                                             （ D ）

（A）    （B）   （C）      （D）

（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于                                  （ B ）

（A）0.5      （B）-0.5    （C）1.5    （D）-1.5

（16）已知圆与抛物线的准线相切。则p=__________

答：2

（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）

答：32

(18)的值是_______

   D             C      

     A               B  

  F             E       

答：

（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60⁰的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______

答：

（20）（本小题满分11分）

解不等式

解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：

因为所以

（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：

由（1）得，

由（2）得，

综上，当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

（21）（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：

A+C=2B，求的值。

解：由题设条件知：

B=60⁰，A+C=120⁰

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

将代入上式并整理得

从而得

（22）（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁

   A          C      

        B           

           E        

  A₁            C₁   

          B₁        

（Ⅰ）求证：BE=EB₁;

（Ⅱ）若AA₁=A₁B₁，求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角（锐角）的度数。

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。

（Ⅰ）证明：在截面A₁EC内，

过E作EG⊥A₁C，G是垂足。

   A    F     C    

           B        

      G             

           E        

 A₁            C₁   

   D      B₁        

①∵面A₁EC⊥侧面AC₁，

∴EG⊥侧面AC₁;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

②∵面ABC⊥侧面AC₁，

∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG。

③∵BE∥侧面AC₁，

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，

④∵BE∥AA₁，

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤∵AF=FC，

∴FG=AA₁=BB₁，即BE=BB₁，故BE=EB₁。

（Ⅱ）解：分别延长CE、C₁B₁交于点D，连结A₁D

∵EB₁∥CC₁，EB₁=BB₁=CC₁，

∴DB₁=DC₁=B₁C₁=A₁B₁，

∵∠B₁A₁C₁=∠B₁C₁A₁=60⁰，∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180⁰-∠DB₁A₁）=30⁰，

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90⁰，即DA₁⊥A₁C₁。

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角。

∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90⁰，

∴∠CA₁C₁=45⁰，即所求二面角为45⁰。

（23）（本小题满分10分）

某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？

（=，=）

解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。

依题意得不等式

化简得

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。

（24）（本小题满分12分）

已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂。

（Ⅰ）求的斜率k₁的取值范围;

（Ⅱ）若|A₁B₁|=|A₂B₂|，求的方程。

解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组

    （1）

有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得

  （2）

若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。

故，即。方程（2）的判别式为

设的斜率为k_2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组

    （3）

有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得

  （4）

同理有，

又因为，所以有

于是，与双曲线各有两个交点，等价于

（Ⅱ）设A₁（x₁,y₁）B₁（x₂,y₂）.由方程（2）知

同理，由方程（4）可求得|A₂B₂|²，整理得

由|A₁B₁|=|A₂B₂|，得|A₁B₁|²=5|A₂B₂|².

将（5）、（6）代入上式得

解得

取时，

取时，

（25）（本小题满分12分）

已知是实数，函数当时，

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）证明：当时，

（Ⅲ）设当时，的最大值为2，求.

（Ⅰ）证明：由条件当时，，

取x=0得，即

（Ⅱ）证法一：当时，在[-1，1]上是增函数，

由此得 

当时，在[-1，1]上是减函数，

由此得 

当时，

综上得 

证法二：由可得

当时，有

根据含绝对值的不等式的性质，得

即

（Ⅲ）因为时，在[-1，1]上是增函数，

当x=1时取最大值2，

即

因为当时，，即

根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得

由（1）得

所以

一九九六年（文科）

（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则                                     （ C ）

（A） （B） （C） （D）

（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是                                              （ A ）

(A) y         (B)    y         (C)  y          (D)     y         

    o   1    x    o    1    x      o  1     x      o  1   x 

（3）若，则x的取值范围是             （ D ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）复数等于                             （ B ）

（A）  （B）  （C）  （D）

（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有                                            （ C ）

（A）720种  （B）360种   （C）240种  （D）120种

（6）已知是第三象限角且，则         （ D ）

（A）      （B）       （C）    （D）

（7）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有                                   （ A ）

（A）且          （B）且

（C）且          （D）且

（8）当时，函数的       （ D ）

（A）最大值是1，最小值是-1

（B）最大值是1，最小值是

（C）最大值是2，最小值是-2

（D）最大值是2，最小值是-1

（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是

（A）            （B）          （ A ）

（C）            （D）

（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240⁰，该圆锥的体积是                                              （ C ）

（A）    （B）    （C）     （D）

（11）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）

（A）（-3，5），（-3，-5）   （B）（3，3），（3，-5）

（C）（1，1），（-7，1）     （D）（7，-1），（-1，-1）

（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为                             （ D ）

（A）     （B）      （C）    （D）

（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为                                     （ C ）

（A）130     （B）170      （C）210     （D）260

（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为                                         （ A ）

（A）2      （B）     （C）     （D）

（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于                                   （ B ）

（A）0.5    （B）-0.5    （C）1.5    （D）-1.5

（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________

答：4

（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）

答：32

(18)的值是_______

   D             C      

     A               B  

  F             E       

答：

（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60⁰的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______

答：

（20）（本小题满分11分）

解不等式

解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：

（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：

综上，当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

（21）（本小题满分12分）

设等比数列的前n项和为.若S₃+S₆=2S₉，求数列的公比q.

解：q=1，则有S₃=3，S₆=6，S₉=9.但，即得S₃+S₆≠2S₉，与题设矛盾，故.

又依题意S₃+S₆=2S₉可得

（22）（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：

A+C=2B，求的值。

解：由题设条件知：

B=60⁰，A+C=120⁰

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

将代入上式并整理得

从而得

（23）（本小题满分12分）

【注意：本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=，E、F分别是BB₁、CC₁上的点，且BE=，CF=2

   A₁         C₁       

        B₁           

                F    

           E         

  A            C     

        B            

（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF;

（Ⅱ）求三棱锥A₁-AEF的体积。

（Ⅰ）证明：

①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。

∴△DBE∽△DCF，

∴

②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，

∴DB=AB.

③∵△ABD是等腰三角形，

且∠ABD=120⁰，∴∠BAD=30⁰，

∴∠CAD=90⁰，∴DA⊥AC.

④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，

且CA⊥AD，∴FA⊥AD.

⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA  面ADF，

   A₁   G      C₁       

        B₁           

                F    

           E         

  A            C    

          B         

    D               

∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.

（Ⅱ）解：∵V_A1-AEF=V_E-AA1F.

在面A₁B₁C₁内作B₁G⊥A₁C₁，

垂足为G.  B₁G=.

面A₁B₁C₁⊥面A₁C，

∴EBB₁，而BB₁∥面A₁C，

∴三棱锥E-AA₁F的高为.

S_△A1AF=?AA₁?AC=.

∴V_A1-AEF=V_E-AA1F=

（24）（本小题满分10分）

某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？

（=，=）

解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。

依题意的不等式

化简得

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。

（25）（本小题满分12分）

已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂。

（Ⅰ）求的斜率k₁的取值范围;

（Ⅱ）若A₁恰是双曲线的一个顶点，求|A₂B₂|的值。

解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组

    （1）

有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得

  （2）

若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。

故，即。方程（2）的判别式为

设的斜率为k_2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组

    （3）

有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得

  （4）

同理有，

又因为，所以有

于是，与双曲线各有两个交点，等价于

（Ⅱ）双曲线的顶点为（0，1）、（0，-1）。

取A₁（0，1）时，有

解得从而，

将代入方程（4）得

     （5）

记与双曲线的两交点为A₂（x₁,y₁）B₂（x₂,y₂）.则

由（5）知

同理，由方程（4）可求得|A₂B₂|²，整理得

当取A₁（0，-1）时，由双曲线关于x轴的对称性，知

所以过双曲线的一个顶点时，。

一九九七年（理科）

（1）设集合M=，集合N=，集合                                       （ B ）

（A）       （B）

（C）       （D）

（2）如果直线与直线平行，那么系数                                            （ B ）

（A）-3      (B)-6      (C)        (D)

（3）函数在一个周期内的图象是      （ A ）

(A)             (B)            (C)            (D)                 

      y                y            y              y               

  o    x     o      x   o       x     o       x      

（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是

（A）  （B）  （C）   （D）  （ C ）

（5）函数的最小正周期是       （ B ）

（A）        （B）       （C）  （D）

（6）满足的x的取值范围是      （ D ）

（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]

（7）将的图象                              （ D ）

（A）先向左平行移动1个单位（B）先向右平行移动1个单位

（C）先向上平行移动1个单位（D）先向下平行移动1个单位

再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象

（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是        （ C ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（9）曲线的参数方程是，它的普通方程是（A）     （B）            （ B ）

（C）       （D）

（10）函数的最小值为             （ B ）

（A）2    （B）0       （C）      （D）6

（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是                                    （ A ）

（A）   （B）

（C）   （D）

（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是                                            （ D ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式：                                               （ C ）

①  ②

③  ④

其中成立的是

（A）①与④  （B）②与③  （C）①与③  （D）②与④

（14）不等式组的解集是                   （ C ）

（A）            （B）

（C）          （D）

（15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有                             （ D ）

（A）150种   （B）147种   （C）144种   （D）141种

（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____

答：4

（17）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_______

答：

(18)的值为_______

答：

（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：

①若垂直于内的两条相交直线，则

②若平行于，则平行于内的所有直线;

③若

④若

⑤若

其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

答：①，④

（20）（本小题满分10分）

已知复数复数在复平面上所对应的点分别为P，Q。证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）

解：因为

因为

于是

由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。

（21）（本小题满分11分）

已知数列都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且设为数列的前n项和.求

解：

分两种情况讨论：

（1）

（2）

（22）（本小题满分12分）

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。

（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，

全程运输成本为

故所求函数及其定义域为

（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有

当且仅当时上式中等号成立。

若时，全程运输成本y最小

若时，有

因为

所以时等号成立，也即当时，

全程运输成本y最小。

综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为

当时行驶速度应为。

（23）（本小题满分12分）

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点。

   D₁            C₁   

A₁          B₁        

               E       

   D             C    

     H      F          

A              B      

        G             

（Ⅰ）证明AD⊥D₁F;

（Ⅱ）求AE与D₁F所成的角;

（Ⅲ）证明面AED⊥面A₁FD₁;

（Ⅳ）设AA₁=2，求三棱锥F-A₁ED₁的

体积V_F-A1ED1.

解：（Ⅰ）∵AC₁是正方体，

∴AD⊥面DC₁，又D₁F面DC₁，

∴AD⊥D₁F.

（Ⅱ）取AB中点G，连结A₁G，FG

因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，

又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，

故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F。

设A₁G与AE相交与点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角。

因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，

∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90⁰，即直线AE与D₁F所成角为直角。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D₁F，由（Ⅱ）知AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED

又因为D₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁.

（Ⅳ）连结GE，GD₁.

∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，

∴体积V_F-A1ED1=V_G-A1ED1=V_D1-A1GE，

∵AA₁=2，∴面积S_△A1GE=S_□ABB1A1-2S_△A1AG-S_△GBE=

∴V_F-A1ED1=V_D1-A1GE=

（24）（本小题满分12分）

设二次函数，方程的两个根满足

（Ⅰ）当时，证明：

（Ⅱ）设函数的图象关于直线对称，证明：

解：（Ⅰ）令因为是方程的根，所以

（Ⅱ）依题意知

因为是方程的根，即是方程

的根

所以

（25）（本小题满分12分）

设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。

解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90⁰，知圆P截x轴所得的弦长为，故

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得

又点到直线的距离为

所以

当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值.

由此有解此方程组得

由于知

于是，所求圆的方程是

解法二：同解法一得

，得

将代入（1）式，整理得

把它看作的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

所以  有最小值1，从而有最小值

将其中代入（2）式得解得

将代入

综上

由同号。

于是，所求圆的方程是

一九九七年（文科）

（1）设集合M=，集合N=，集合                                       （ B ）

（A）     （B）

（C）     （D）

（2）如果直线与直线平行，那么系数                                            （ B ）

（A）-3      (B)-6      (C)        (D)

（3）函数在一个周期内的图象是      （ A ）

(A)             (B)            (C)            (D)                 

      y                y            y              y               

  o    x     o      x   o       x     o       x      

（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是

（A）        （B）      （C）   （D）  （ C ）

（5）函数的最小正周期是       （ B ）

（A）        （B）      （C）  （D）

（6）满足的角的一个取值区间是         （ C ）

（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]

（7）设函数定义域在实数集上，则函数与

 的图象关于                             （ D ）

（A）直线y=0对称       （B）直线x=0对称

（C）直线y=1对称       （D）直线x=1对称

（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是        （ C ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（9）如果直线将圆：平分，且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是                     （ A ）

（A）[0，2]  （B）[0，1]  （C）[0，] （D）[0，）

（10）函数的最小值为             （ B ）

（A）2    （B）0       （C）      （D）6

（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是                                    （ A ）

（A）   （B）

（C）   （D）

（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是                                            （ D ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式：                                               （ C ）

①  ②

③  ④

其中成立的是

（A）①与④  （B）②与③  （C）①与③  （D）②与④

（14）不等式组的解集是                   （ C ）

（A）            （B）

（C）          （D）

（15）四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有         （ B ）

（A）30种   （B）33种   （C）36种   （D）39种

（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____

答：4

（17）已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_______

答：（4，2）

(18)的值为_______

答：

（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：

①若垂直于内的两条相交直线，则

②若平行于，则平行于内的所有直线;

③若

④若

⑤若

其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

答：①，④

（20）（本小题满分10分）

已知复数求复数的模及辐角主值。

解：

故复数的模为，辐角主值为.

（21）（本小题满分11分）

设是等差数列前n项和。已知与的等比中项为，与的等差数列中项为1。求等差数列的通项.

解：设等差数列数列的首项公差为，

则通项为

前n项和为

依题意有

其中由此可得

整理得解方程组得

由此得

经验证知均适合题意。

故所求等差数列的通项为

（22）（本小题满分12分）

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。

（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，

全程运输成本为

故所求函数及其定义域为

（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有

当且仅当时上式中等号成立。

若时，全程运输成本y最小

若时，有

因为

所以时等号成立，也即当时，

全程运输成本y最小。

综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为

当时行驶速度应为。

（23）（本小题满分12分）

   D₁            C₁   

A₁          B₁        

               E       

   D             C    

           F          

A              B      

        G             

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点。

（Ⅰ）证明AD⊥D₁F;

（Ⅱ）求AE与D₁F所成的角;

（Ⅲ）证明面AED⊥面A₁FD₁;

（Ⅳ）设AA₁=2，求三棱锥E-AA₁F的体积V_E-AA1F.

解：（Ⅰ）∵AC₁是正方体，

∴AD⊥面DC₁，又D₁F面DC₁，

∴AD⊥D₁F.

（Ⅱ）取AB中点G，连结A₁G，FG

因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，

又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，

故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F。

设A₁G与AE相交与点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角。

因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，

∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90⁰，即直线AE与D₁F所成角为直角。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D₁F，由（Ⅱ）知AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED

又因为D₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁.

（Ⅳ）∵体积V_E-AA1F=V_F-AA1E，

又FG⊥面ABB₁A₁，三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，

面积S_△AA1E=S_□ABB1A1=

∴V_E-AA1F =

（24）（本小题满分12分）

已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。

（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;

（Ⅱ）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为，

由题设知，，则点A、B纵坐标分别为

因为A、B在过点O的直线上，

所以

点C、D的坐标分别为

由于

OC的斜率OD的斜率

由此可知，

即O、C、D在同一条直线上。

（Ⅱ）由于BC平行于x轴知即得

代入得

由于

考虑

于是点A的坐标为

（25）（本小题满分12分）

设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1;③圆心到直线：的距离为。求该圆的方程。

解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90⁰，知圆P截x轴所得的弦长为，故

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得

又点到直线的距离为，所以

即有，由此有

解方程组得于是知

所求圆的方程是

于是，所求圆的方程是

一九九八年（理科）

（1）的值是                           （ D ）

（A）    （B）    （C）    （D）

（2）函数的图象是                 （ B ）

（A） y         (B)       y           (C)       y       (D)     y        

                                                1                        

                           1                                    1        

    o      x            o      x             o      x        o      x    

（3）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为    （ B ）

（A）       （B）

（C）       （D）

（4）两条直线A₁x+B₁y+C₁=0,A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件（ A ）

（A）A₁A₂+B₁B₂=0（B）A₁A₂-B₁B₂=0（C）（D）

（5）函数的反函数                （ B ）

（A） （B） （C） （D）

（6）已知点P在第一象限，则在内的取值范围是                                            （ B ）

（A）       （B）

（C）      （D）

（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为                                （ C ）

（A）120⁰     （B）150⁰  （C）180⁰    （D）240⁰

（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （ D ）

（A） （B） （C） （D）

（9）如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S₀，那么                                              （ A ）

   y             

        H   h    

（A）       （B）

（C）           （D）

（10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是                         （ B ）

（A）            （B）           （C）           （D）

（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有      （ D ）

（A）90种   （B）180种    （C）270种  （D）540种

（12）椭圆的焦点为F₁和F₂，点P在椭圆上。如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|是|PF₂|的          （ A ）

（A）7倍    （B）5倍      （C）4倍     （D）3倍

（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ B ）

（A）     （B）     （C）2        （D）

（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ B ）

（A）（B）（C）（D）

（15）在等比数列中，且前n项和满足那么的取值范围是                                  （ D ）

（A）   （B）（1，4）  （C）（1，2）  （D）（1，）

（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________

答：

（17）的展开式中的系数为______（用数字作答）

答：179

   A₁        D₁    

B₁                 

           C₁      

   A           D   

B                  

           C       

(18)如图，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A₁C⊥B₁D₁.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）

（19）关于函数，

有下列命题：

①由可得必是的整数倍;

②的表达式可改写成

③的图象关于点对称;

④的图象关于直线对称.

其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

答：②，③

（20）（本小题满分10分）

在△ABC中，分别是接A，B，C的对边，设A-C=求的值。以下公式供解题时参考：

解：由正弦定理和已知条件得

由和差化积公式

由A+B+C=得

又A-C=得

（21）（本小题满分11分）

如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

       y                 

                 B        

         A               

  M   O    N       x   

解法一：如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为

其中分别为A，B的横坐标，

由得

由（1），（2）两式联立解得再将其代入（1）式并由解得

因为△AMN为锐角三角形，所以故舍去

由点B在曲线段C上，得

综上得曲线段C的方程为

      y                   

                 B        

   F                    

         A               

   D                    

  M  O   E N       x   

解法二：如图建立坐标系，

以、为x、y轴，M为坐标原点.

作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分别为E、D、F.

设

依题意有

由于△AMN为锐角三角形，故有

设点是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集合

故曲线段C的方程为

（22）（本小题满分12分）

A                        

                  B       

                 2      

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为米，高度为米。已知流出的水中杂质的质量分数与的乘积成反比。现有制箱材料60平方米。问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数。依题意，即所求的值使y值最小。

根据题设，有

得

于是

当时取等号，y达到最小值

这时（舍去）

将代入（1）式得

故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法二：即所求的值使最大

由题设知

即

当且仅当时，上式取等号.

由解得

即当时，取得最大值为18.

解得

故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

（23）（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90⁰，BC=2，AC=，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C.

（Ⅰ）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小;

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小;

（Ⅲ）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离。

 A₁              C₁   

         B₁         

     H              

  D                 

A             C         

    E      B

（Ⅰ）解：作A₁D⊥AC，垂足为D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，∴∠A₁AD为A₁A与面ABC所成的角.∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，

∴∠A₁AD=45⁰为所求。

（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.

又D是AC的中点，BC=2，AC=，

∴DE=1，AD=A₁D=，

故∠A₁ED=60⁰为所求。

（Ⅲ）解法一：由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离。

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.

又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，∴∠HBC=∠A₁ED=60⁰.

∴CH=BC为所求.

解法二：连结A₁B.

根据定义，点C到面A₁ABB₁的距离，即为三棱锥C-A₁AB的高h

由

即为所求.

（24）（本小题满分12分）

设曲线C的方程是将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁.

（Ⅰ）写出曲线C₁的方程;

（Ⅱ）证明曲线C与C₁关于点对称;

（Ⅲ）如果C与C₁有且仅有一个公共点，证明

（Ⅰ）解：曲线C₁的方程为

（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B₁（x₁,y₁).设B₂（x₂,y₂)是B₁关于点A的对称点，则有

代入曲线C的方程，得满足方程：

，

可知点B₂（x₂,y₂)在曲线C₁上.

反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A对称点在曲线C上.

因此，曲线C与C₁关于点A对称。

（Ⅲ）证明：因为曲线C与C₁有且仅有一个公共点，，所以，方程组有且仅有一组解。

消去y，整理得

这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。

所以并且其根的判别式

（25）（本小题满分12分）

已知数列是等差数列，

（Ⅰ）求数列的通项

（Ⅱ）设数列的通项，记是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.

解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得

（Ⅱ）由知

因此要比较与的大小，可先比较

的大小。

取n=1有

取n=2有

……

由此推测   ①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当时，＞.

当时，＜.

下面用数学归纳法证明①式.

（i）当n=1时已验证①式成立.

（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即

那么，当n=k+1时，

因而

就是说①式当n=k+1时也成立。由（i）（ii）知①式对任何正整数n都成立。

因此证得：当时，＞.

当时，＜.

一九九八年（文科）

（1）的值是                                 （ D ）

（A）    （B）    （C）    （D）

（2）函数的图象是                       （ B ）

（A） y         (B)       y           (C)       y       (D)     y        

                                                1                         

                           1                                    1        

    o      x            o      x             o      x        o      x    

（3）已知直线和圆相切，那么的值是

（A）5      （B）4      （C）3     （D）2         （ C ）

（4）两条直线A₁x+B₁y+C₁=0,A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件（ A ）

（A）A₁A₂+B₁B₂=0（B）A₁A₂-B₁B₂=0（C）（D）

（5）函数的反函数                （ B ）

（A） （B） （C） （D）

（6）已知点P在第一象限，则在内的取值范围是                                            （ B ）

（A）       （B）

（C）      （D）

（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为                                （ C ）

（A）120⁰     （B）150⁰  （C）180⁰    （D）240⁰

（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （ D ）

（A） （B） （C） （D）

（9）如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S₀，那么                                              （ A ）

（A）        （B）

（C）            （D）

（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有        （ B ）

   y             

        H   h    

（A）6种    （B）12种    （C）18种  （D）24种

（11）向高为H的水瓶中注水，注满

为止，如果注水量V与水深h的函数

关系的图象如右图所示，那么水瓶的

形状是                     （ B ）

（A）            （B）           （C）           （D）

（12）椭圆的一个焦点为F₁，点P在椭圆上。如果线段PF₁的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是        （ A ）

（A）    （B）      （C）     （D）

（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ B ）

（A）     （B）     （C）2        （D）

（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为                                        （ C ）

（A）   （B）  （C）      （D）

（15）等比数列的公比为，前n项和满足那么的值为                                        （ D ）

（A）   （B）     （C）     （D）

（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________

答：

（17）的展开式中的系数为______（用数字作答）

答：179

   A₁        D₁    

B₁                 

           C₁      

   A           D   

B                  

            C       

(18)如图，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A₁C⊥B₁D₁.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）

（19）关于函数，

有下列命题：

①的表达式可改写成

②是以为最小正周期的周期函数;

③的图象关于点对称;

④的图象关于直线对称.

其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

答：①，③

（20）（本小题满分10分）

设，解关于x的不等式

解：将原不等式化为

移项，整理后得

，即

即

解此不等式，得解集

（21）（本小题满分11分）

在△ABC中，分别是接A，B，C的对边，设A-C=求的值。以下公式供解题时参考：

解：由正弦定理和已知条件得

由和差化积公式

由A+B+C=得

又A-C=得

（22）（本小题满分12分）

如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

       y                 

                 B        

         A               

  M   O    N       x   

解法一：如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为

其中分别为A，B的横坐标，

由得

由（1），（2）两式联立解得再将其代入（1）式并由解得

因为△AMN为锐角三角形，所以故舍去

由点B在曲线段C上，得

综上得曲线段C的方程为

      y                   

                 B        

   F                    

         A               

   D                    

  M  O   E N       x   

解法二：如图建立坐标系，

以、为x、y轴，M为坐标原点.

作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分别为E、D、F.

设

依题意有

由于△AMN为锐角三角形，故有

设点是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集合

故曲线段C的方程为

（23）（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90⁰，BC=2，AC=，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C.

（Ⅰ）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小;

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小;

（Ⅲ）求侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离。

 A₁              C₁   

         B₁         

  D  F               

A             C         

    E      B

（Ⅰ）解：作A₁D⊥AC，垂足为D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，∴∠A₁AD为A₁A与面ABC所成的角.∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，

∴∠A₁AD=45⁰为所求。

（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.

又D是AC的中点，BC=2，AC=，

∴DE=1，AD=A₁D=，

故∠A₁ED=60⁰为所求。

（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A₁ACC₁⊥面ABC，知BF⊥面A₁ACC₁

∵B₁B∥面A₁ACC₁

∴BF的长是B₁B和平面A₁ACC₁的距离。

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.

在Rt△ABC中，

∴为所求。

（24）（本小题满分12分）

A                         

                  B       

                 2      

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为米，高度为米。已知流出的水中杂质的质量分数与的乘积成反比。现有制箱材料60平方米。问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数。依题意，即所求的值使y值最小。

根据题设，有

得

于是

当时取等号，y达到最小值

这时（舍去）

将代入（1）式得

故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法二：即所求的值使最大

由题设知

即

当且仅当时，上式取等号.

由解得

即当时，取得最大值为18.

解得

故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

（25）（本小题满分12分）

已知数列是等差数列，

（Ⅰ）求数列的通项

（Ⅱ）设数列的通项，记是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.

解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得

（Ⅱ）由知

因此要比较与的大小，可先比较

的大小。

取n=1有

取n=2有

……

由此推测   ①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

＞.

下面用数学归纳法证明①式.

（i）当n=1时已验证①式成立.

（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即

那么，当n=k+1时，

因而

就是说①式当n=k+1时也成立。

由（i）（ii）知①式对任何正整数n都成立。

因此证得＞.

一九九九年（理科）

（1）如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是，则                               （ C ）

（A）（MP）S

（B）（MP）S

（C）（MP）

（D）（MP）

（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是（ A ）

（A）4      （B）5      （C）6       （D）7

（3）函数的反函数是，则等于（A）      （B）    （C）       （D）    （ A ）

（4）函数在区间上是增函数，且，，则函数上 （ C ）

（A）是增函数            （B）是减函数

（C）可以取得最大值M     （D）可以取得最小值-M

（5）若是周期为的奇函数，则可以是    （ B ）

（A）   （B）     （C）    （D）

（6）在极坐标系中，曲线关于           （ B ）

（A）直线轴对称     （B）直线轴对称

（C）点中心对称     （D）极点中心对称

（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是                          （ B ）

（A）cm   （B）6cm    （C）cm  （D）cm

（8）若

的值为                                    （ A ）

（A）1       （B）-1     （C）0       （D）2

（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为

（A）       （B）     （C）      （D）     （ C ）

      E       F         

         D           C  

 A              B

（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为                 （ D ）

（A）  （B）5    （C）6   （D）

（11）若              （ B ）

（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）

（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积比为1:2，那么R= （ D ）

（A）10      （B）15       （C）20     （D）25

（13）已知两点M（1，）、N（-4，-），给出下列曲线方程：

①  ②  ③  ④

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是     （ D ）

（A）①③    （B）②④     （C）①②③  （D）②③④

（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有           （ C ）

（A）5种        （B）6种        （C）7种        （D）8种

（15）设椭圆的右焦点为F₁，右准线为。若过F₁且垂直于x轴的弦长等于点F₁到的距离，则椭圆的离心率是__________

答：

（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共用______种（用数字作答）

答：12

（17）若正数满足，则的取值范围是_______

答：

（18）是两个不同平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：

①   ②    ③    ④

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________

答：，，或，，

（19）（本小题满分10分）

解不等式

解：原不等式等价于

由(1)得由(2)得

由(3)得由此得

当时得所求的解集是;

当时得所求的解集是

（20）（本小题满分12分）

设复数求函数最大值以及对应的值。

解:由

由得

故

当且仅当时,即时,上式取等号.

所以当时,函数取最大值

由内正切函数是递增函数,

函数y也取最大值.

（21）（本小题满分12分）

如图,已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁,点E在棱D₁D上,截面EAC∥D₁B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45⁰,AB=.

     D₁          C₁   

A₁           B₁       

     E                

           P          

         Q              

      D          C    

         O            

 A          B         

（Ⅰ）求截面EAC的面积;

（Ⅱ）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离;

（Ⅲ）求三棱锥B₁-EAC的体积。

（Ⅰ）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD=45⁰。DO=

故

（Ⅱ）解：由题设ABCD- A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，

A₁A⊥AC。又A₁A⊥A₁B₁，

∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线。

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，∴D₁B∥EO。

又O是DB的中点，∴E是D₁D的中点，D₁B=2EO=2。

∴D₁D=

异面直线A₁B₁与AC间的距离为

（Ⅲ）解：连结D₁B₁。∵D₁D=DB=，∴BDD₁B₁是正方形。

连结B₁D交D₁B于P，交EO与Q

∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO。

又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，∴B₁D⊥面EAC

∴B₁Q是三棱锥B₁-EAC的高。

由DQ=PQ，得B₁Q=

所以三棱锥B₁-EAC的体积是

（22）（本小题满分12分）

右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（一对轧辊减薄率=）

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点间距为L_k。为了便于检修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距L_k(单位:mm)

1600

解：（Ⅰ）厚度为的带钢经过减薄率均为的n对轧辊后厚度为

，为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

即对上式两端取对数得

因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊。

（Ⅱ）解一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为

而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为

因宽度相等，且不考虑损耗，由体积相等得

即由此得

L₃=2000（mm）,L₂=2500(mm),L₁=3125(mm)

填表如下：

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距L_k(单位:mm)

3125

2500

2000

1600

解二：第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有

所以，同理：

填表如下：

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距L_k(单位:mm)

3125

2500

2000

1600

（23）（本小题满分14分）

已知函数的图象是自原点出发的一条折线。当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义。

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表达式;

（Ⅱ）求的表达式，并写出其定义域;

（Ⅲ）证明：的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。

解：（Ⅰ）依题意函数的图象是斜率为的线段，故由

又由的图象是斜率为的线段，

故由

记由函数图象中第n段线段的斜率为故得

由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为

由，得

即

（Ⅱ）当从（Ⅰ）可知y=x，即当时，

当时，即当时，由（Ⅰ）可知

为求函数的定义域，须对进行讨论

当时，

当时，也趋向于无穷大。

综上，当时，的定义域为

当时，的定义域为

（Ⅲ）证一：首先证明当，时，恒有成立。

用数学归纳法证明：

(i)             由（Ⅱ）知当n=1时，在上，

所以成立。

（ii)假设n=k时在上，恒有成立。

可得

在上，

所以也成立。

由(i)与(ii)知对所有自然数n在上都有成立

即时,恒有

其次,当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.

故的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。

证二：首先证明当，时，恒有成立。

对任意的，存在，使，此时有

又

即有成立

其次，当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.

故的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。

（24）（本小题满分14分）

如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。

      y               

   B                      

             C            

        O       A     x  

解：依题意，记B（-1，），

则直线OA和OB的方程分别为

设点C（x,y）则有，

由OC平分∠BOA，知点C到OA、OB距离相等。根据点到直线所距离公式得

         ①

依题设，点C在直线AB上，故有

由得       ②

将②式代入①式得

整理得

若，则

若，则，∠BOA=，点C的坐标为（0，0）满足上式

综上得点C的轨迹方程为

(i)当时，轨迹方程化为    ③

此时，方程③表示抛物线弧段;

(ii)当时，轨迹方程化为

                 ④

所以，当时，方程④表示椭圆弧段;

当时，方程④表示双曲线一支的弧段。

一九九九年（文科）

（1）如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是，则                               （ C ）

（A）（MP）S

（B）（MP）S

（C）（MP）

（D）（MP）

（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是（ A ）

（A）4      （B）5      （C）6       （D）7

（3）函数的反函数是，则等于（A）      （B）    （C）       （D）    （ A ）

（4）函数在区间上是增函数，且，，则函数上 （ C ）

（A）是增函数            （B）是减函数

（C）可以取得最大值M     （D）可以取得最小值-M

（5）若是周期为的奇函数，则可以是    （ B ）

（A）   （B）     （C）    （D）

（6）曲线关于                 （ B ）

（A）直线轴对称     （B）直线轴对称

（C）点中心对称     （D）点中心对称

（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是                          （ B ）

（A）cm   （B）6cm    （C）cm  （D）cm

（8）若

的值为                                    （ A ）

（A）1       （B）-1     （C）0       （D）2

（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为

（A）       （B）     （C）      （D）     （ C ）

      E       F         

         D           C   

 A              B

（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为

（A）  （B）5    （C）6   （D）   （ D ）

（11）若              （ B ）

（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）

（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积比为1:2，那么R= （ D ）

（A）10      （B）15       （C）20     （D）25

（13）已知两点M（1，）、N（-4，-），给出下列曲线方程：

①  ②  ③  ④

其中与直线有交点的所有曲线是              （ D ）

（A）①③    （B）②④     （C）①②③  （D）②③④

（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有           （ C ）

（A）5种        （B）6种        （C）7种        （D）8种

（15）设椭圆的右焦点为F₁，右准线为。若过F₁且垂直于x轴的弦长等于点F₁到的距离，则椭圆的离心率是__________

答：

（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共用______种（用数字作答）

答：12

（17）若正数满足，则的取值范围是_______

答：

（18）是两个不同平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：

①   ②    ③    ④

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________

答：，，或，，

（19）（本小题满分10分）

解方程

解：设，则原方程化为

解得

因为，所以将舍去。

由得

所以

经检验，为原方程的解。

（20）（本小题满分12分）

数列的前n项和记为。已知求的值。

解：由

又由已知

于是

所以由

所以，数列是首项，公比的等比数列。

由此知数列是首项，公比的等比数列。

（21）（本小题满分12分）

设复数求函数最大值以及对应的值。

解:由

由得

故

当且仅当时,即时,上式取等号.

所以当时,函数取最大值

（22）（本小题满分12分）

如图,已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁,点E在棱D₁D上,截面EAC∥D₁B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45⁰,AB=.

     D₁          C₁   

A₁           B₁       

     E                

           P          

         Q              

      D          C    

         O            

 A          B         

（Ⅰ）求截面EAC的面积;

（Ⅱ）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离;

（Ⅲ）求三棱锥B₁-EAC的体积。

（Ⅰ）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD=45⁰。DO=

故

（Ⅱ）解：由题设ABCD- A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，

A₁A⊥AC。又A₁A⊥A₁B₁，

∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线。

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，∴D₁B∥EO。

又O是DB的中点，∴E是D₁D的中点，D₁B=2EO=2。

∴D₁D=

异面直线A₁B₁与AC间的距离为

（Ⅲ）解：连结D₁B₁。∵D₁D=DB=，∴BDD₁B₁是正方形。

连结B₁D交D₁B于P，交EO与Q

∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO。

又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，∴B₁D⊥面EAC

∴B₁Q是三棱锥B₁-EAC的高。

由DQ=PQ，得B₁Q=

所以三棱锥B₁-EAC的体积是

（23）（本小题满分14分）

右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（一对轧辊减薄率=）

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点间距为L_k。为了便于检修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距L_k(单位:mm)

1600

解：（Ⅰ）厚度为的带钢经过减薄率均为的n对轧辊后厚度为

，为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

即对上式两端取对数得

因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊。

（Ⅱ）解一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为

而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为

因宽度相等，且不考虑损耗，由体积相等得

即由此得

L₃=2000（mm）,L₂=2500(mm),L₁=3125(mm)

填表如下：

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距L_k(单位:mm)

3125

2500

2000

1600

解二：第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有

所以，同理：

填表如下：

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距L_k(单位:mm)

3125

2500

2000

1600

（24）（本小题满分14分）

如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。

      y              

   B                      

             C            

        O       A     x  

解：依题意，记B（-1，），

则直线OA和OB的方程分别为

设点C（x,y）则有，

由OC平分∠BOA，知点C到OA、OB距离相等。根据点到直线所距离公式得

         ①

依题设，点C在直线AB上，故有

由得       ②

将②式代入①式得

整理得

若，则

若，则，∠BOA=，点C的坐标为（0，0）满足上式

综上得点C的轨迹方程为

，轨迹方程化为

                 ③

由此知，当时，方程③表示椭圆弧段;

当时，方程③表示双曲线一支的弧段。