(4)难道不是无理数吗？

(5)天呐！

(6)正方形四条边相等。

（(1) 没有完整的意义，不能判断真假，不是命题；(2)是命题，是真命题；(3)是命题，是假命题； (4)是疑问句，不是命题；(5)是感叹句，不是命题；(6)是命题，是真命题）

汇总：一个语句是命题，它必须满足：能判断真假，是陈述句，有完整的意义

1、就上面是命题的例子，都可以转换成“如果……，那么……”的命题形式

题号

转换为“如果….那么……”的形式

(2)

如果三个角是一个三角形的内角，则它们的和是180⁰

(3)

如果两条线是平行线，则它们相交

(6)

如果一个四边形是正方形，那么它们的四条边相等

2、命题(2)中，如果p则q,p称此命题的条件，q称结论；将条件与结论倒过来，得到：

如果三个角的和是180⁰，那么它们是一个三角形的内角――称原命题的逆命题；这样原命题也是它的逆命题，称互逆关系

将原命题条件和结论全部否定，得到：

如果三个角不是三角形的内角，则它们的内角和不是180⁰――称原命题的否命题；这样原命题也是它的否命题，称二者互否的关系。

将逆命题条件和和结论全部否定，得到：

如果三个角的和不是180⁰，那么它们不是一个三角形的内角――称原命题的逆否命题；这样原命题也是它的逆否命题，称互为逆否关系；可以看出，它与逆命题是互否关系，与否命题是互逆关系。

一般的有

例1、将命题“负数的平方是正数”写成“若p则q”的形式，再写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假

解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数．（真）

    逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）

    否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假）

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数（真）

练习：将下列两个命题写成“若p则q”的形式，再写出其逆命题、否命题、逆否命题。并判断它们的真假

(1)奇函数的图象关于原点对称

(2)已知a,b∈R,a+b为无理数时，a、b都是无理数

例2、如果一个命题的否命题是“若x+y≤0，则x≤0”，写出其原命题、逆命题和逆否命题，并判断它们的真假

解：原命题：若x+y>0，则x>0   (假)

    逆命题：若x>0,则x+y>0    (假)

    否命题：若x+y≤0，则x≤0  （假）

  逆否命题：若x≤0，则x+y≤0   （假）

由上面例子，你能得到四种命题真假的什么结论？（互为逆否的两个命题同真假，这给我们提供了一个解题思路：如果原问题很难看懂情况下，考虑其逆否命题）

练习：教材P7---练习题

例3、m是n的逆命题，m的否命题是r，则n是r的什么命题？

解：逆否命题

 2、互为逆否的两个命题同真假

[补充习题]

1、命题“若y=,则x与y成反比例”的否命题为___________

2、设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”的形式是_________________，写出其逆命题、否命题、逆否命题

3、有下列四个命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤-1，则方程x²-2bx+b²+b=0有实数根”的逆否命题；④“若A∪B=B,则AB”的逆否命题。其中真命题的序号是_____________

4、已知下列三个方程：x²+4ax-4a+3=0,x²+(a-1)x+a²=0,x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，求实数a的范围

5、已知函数f(x)对任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1,若f(4)=5,解关于x的不等式f(3m²-m-2)<3

[答案]

1、若y≠,则x与y不成反比例

2、若两个角是对顶角，则它们相等；逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角；否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等；逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角

3、①③

4、

5、-1<m<4/3

§1.1.2 充分条件和必要条件（1）----判断

【教学目标】

【教学重点难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请判断下列命题的真假：

⑴若，则；

⑵若，则；

⑶若，则；

⑷若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

二、讲授新课

1．推断符号“”的含义：

例如命题⑵、⑶、⑷为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．此时可记作“”．

又例如命题⑴为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“”．

用推断符号“”写出下列命题：

⑴若，则；

⑵若，则；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

2．充分条件与必要条件

一般地，如果已知，qp那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件．

由上述定义中，“”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？

应注意条件和结论是相对而言的，由“”等价命题是“”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了．但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

    这样，如果，而qp,就说p是q成立的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；如果，同时qp,就说p是q的充分必要条件，简称充要条件，这样q也是p的充要条件，p、q互为充要条件，这时，可以用符号pq表示（符号比较熟悉，常见术语有：等价、等价于、必要且只要、充要条件、当且仅当等）；如果，，称p是q的既不充分也不必要条件。

回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若，则；

⑵若，则；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件．

⑴p：，q：；

⑵p：两直线平行，q：内错角相等；

⑶p：，q：；

⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

解：⑴充分不必要条件；⑵必要不充分条件；⑶既充分又必要条件；⑷既不充分也不必要条件．

课本P8   练习1、2、3

例2、a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂均为非零实数，不等式a₁x²+b₁x+c₁>0和a₂x²+b₂x+c₂>0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（    ）

                                       A．充分非必要条件.                                B．必要非充分条件.   C．充要条件   D．既非充分又非必要条件

    解：如果比值为负，M≠N；反之，如果M=N，都为时，对应项系数比值未必相等。故选D

   练习1：已知p:x+y≠3，q:x≠1或y≠2，则p是q的___________条件

A．充分非必要条件.        B．必要非充分条件.   C．充要条件       D．既非充分又非必要条件

   练习2：<1的充分不必要条件是_________

A,x>1      B,x<0        C,x>1或x<0       D,不存在

 例3、p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么p是s的______条件

分析：这种连串的问题，一般有几个命题写在及边形的几个顶点上，按已知条件连线，最后再判断

解：必要

[补充习题]

判断下列是什么条件，选择字母代号填上

A．充分而不必要条件        B．必要而不充分条件C．充分必要条件         D．既不充分也不必要条件

1．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的__________

2．若条件p:a＞4，q:5＜a＜6，则p是q的______________．

3．在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的__________

4． “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的______

   5．若都是的充要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（  ）

    6、设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （   ）

       A．                    B．

       C．                           D．

6．p：；q：．若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

 [答案]BBC BBD

6、解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件

于是有

§1.1.2 充分条件和必要条件（2）----另外题型

【教学目标】

【教学重点难点】充要条件的证明

【教学过程】

1、如何判断p是q的什么条件？

2、判断x>5是x>3的什么条件，x∈{1,2}是x∈{1,2,3}的什么条件，由此能得到什么结论？（充分不必要，充分不必要；设A={x|p(x)真}，B={x|q(x)真}，则p是q的充分不必要条件ABq是p的必要不充分条件）

3、在(2)条件下，什么情况下p是q的充要条件，什么情况下p是q 的既不充分又不必要条件？（p是q的充要条件A=B；p是q 的既不充分又不必要条件AB,且BA）

通过探究，我们可以用集合方法来判断是什么条件。以前介绍的题型都是判断p是q的什么条件的题型，二是知道什么条件求一个变量的范围；充要条件问题，还有两种常见的题型：一是证明p是q的充要条件，二是给出条件p找它成立的充要条件，本节重点说明这两种踢型。

二、新课内容

例1、a,b,c为三角形的三边，求证：方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90⁰

分析：先找一好证的方向入手，如先有公共根导角（此时一般求出公共根→代入找边的关系→角关系），再根据一就有了二的思路，来证明逆命题）

证明：①方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根，设公共根为x₀，则

   (1)-(2)得2(a-x)x₀+2b²=0          ∴x₀=代入(1)有

+2a+b²=0, 约掉b²去分母得b²+2a(c-a)+(c-a)²=0,a²=b²+c²      ∴∠A=90⁰

     ②∠A=90⁰∴b²=a²-c²,由(1)两方程公共解为-a-c,代入检验知成立，从而方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根-a-c

总之，由①②知方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90⁰

说明：一般地，证明“p的充要条件是q”的步骤为：

S1:从pq或qp中选一熟悉的证明

S2:证明S1中的逆命题

S3:总之p的充要条件是q

练习1：求证关于x的二次方程有一个根x=1的充要条件是a+b+c=0

练习2：在三棱锥中，，求证：的充要条件是平面平面．

例2、找二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件，并证明

解：二次方程ax²+2x+1=0有根的条件是△=4-4a≥0即a≤1，设f(x)= ax²+2x+1无负根的条件为

a<0,故二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，则0<a≤1

     猜想：二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是0<a≤1

     证明：由解答过程知二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，则0<a≤1

     反之，0<a≤1，则△=4-4a≥0，二次方程ax²+2x+1=0有实数根；设f(x)=ax²+2x+1，<0,f(0)= 1>0,f(x)= ax²+2x+1的两个零点都在y轴左侧，二次方程ax²+2x+1=0有两负实数根

总之：二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是0<a≤1

说明：寻找p的充要条件的题一般步骤为：

S1:由p导出一个尽可能比较简单的条件q

S2:猜想此条件q是p成立的充要条件

S3：由q导p,如果能导出，断言，p的充要条件是q；否则加条件a可以导出p,此时p的充要条件为p+a

练习：当且仅当取什么整数值时，关于的一元二次方程和的根都是整数．

四、作业：

1、X,Y∈R,求证 |x + y|=|X| + |Y|的充要条件是XY ㄒ 0

2、证明一员二次方程ax²+bx+c=0有两异号实数根的条件是a和c异号

3、求关于的方程有两个正根的充要条件