【例1】            已知数列{a_n}、{b_n}都是等差数列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、分别表示数列{a_n}、{b_n}的前k项和（k是正整数），若S_k+=0，则a_k+b_k的值为             

【例2】  若－=1，则sin2θ的值等于                      。

【例3】  若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是      

我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、

特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。

1.特殊值法

【例4】  设a>b>1，则log_ab,log_ba,log_abb的大小关系是                           。

2．特殊函数法

【例5】  如果函数f(x)=x²+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是                        。

3．特殊角法

【例6】  cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值为                                。

4．特殊数列法

【例7】已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比数列，则的值是                   。

5．特殊点法

【例8】  椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是                      。

7．特殊模型法

【例9】  已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；

③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β；

⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β；

则其中正确的命题是                         。（把你认为正确的命题序号都填上）。

练习

1．函数f（x）＝|x²－a| 在区间［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是        

2．如图，非零向量与轴正半轴的夹角分

别为 和，且，则

与轴正半轴的夹角的取值范围是      

3．已知函数的定义域是，值域是，则满足条件的整数对共有_________________个

4．三角形ABC中AP为BC边上的中线，，，则＝    

5．如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为       

图1                          图2

6．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，数列{a_n}满足：a₁＝1，a_n＋1＝则数列{a_n}的前2007项的和为           

7．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一动点，则CP＋PA₁的最小值是___________．

8．已知函数f（x）、g（x）满足x∈R时，f′（x）>g′（x），

则x₁<x₂时，则f（x₁）－f（x₂）___ g（x₁）－g（x₂）．（填>、<、＝）

9．△ABC内接于以O为圆心的圆，且．

则 ＝        ．

10．若关于x的方程有不同的四解，则a的取值范围为          ．

11．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________．

12．如图，在中，，，l为BC

的垂直平分线，E为l上异于D的一点，则等于____．

13．O为坐标原点，正△OAB中A、B在抛物线上，正△OCD中C、D在抛物线上，则△ OAB与△OCD的面积之比为          ．

14．已知二次函数f（x）＝x²－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a?b）>f（c?d）的解集为___________．

第二部分    解答题

例1．已知函数为实常数．

（1）a在什么范围内时，只有一个公共点？

（2）若上有最小值2，求a的值．

例2．椭圆的两焦点为，（为坐标原点），P为椭圆上一点， 的斜率分别为和．

（1）求证：；

（2）若△的面积为3，求椭圆方程．

例3、设函数f (x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈，（a为实数）（1）求当x∈时f (x)的解析式；（2）若f (x)在区间上为增函数，求a的取值范围；（3）求在上f (x)的最大值。

例4. 已知b>-1,c>0，函数f (x)=x+b的图象与函数g (x)=x²+bx+c的图象相切。（1）设b=h(c)，求h(c)；（2）设 (x>-b)在上是增函数，求c的最小值；（3）是否存在常数c，使得函数H(x)= f (x) g (x)在内有极值点？若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由。

例5．某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为10，2006年底人均住房面积为20．据此计算：

（1）1996年底人均住房面积超过14，试给出证明；

（2）若人口年平均增长率不超过3?，能否确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加？为什么？

例6．已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若成等差数列时，不等式恒成立．

（1）求实数的取值范围；（2）求角B的取值范围；（3）求实数的取值范围．

例7．已知，，数列满足，

， ．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；

（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

例8．在△ABC中，已知A（0，1），B（0，－1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且＝4．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）若，

①试确定点F的坐标；

②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想．

例9．第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2009行．

（1）求证：第1行至第2008行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列也称等差数列）；

（2）各行的公差组成数列．求通项公式；

（3）各行的第一个数组成数列，求通项公式；

（4）求2009行的这个数．

例10．已知集合．

（1）求；

（2）若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，对于任意的，均有，求的取值范围．

例11．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：

①且＝＋；②且＝．

（1）求及的坐标；

（2）若四边形的面积是，求的表达式；

（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

例12．函数的定义域为，设．

（1）求证： ；

（2）确定t的范围使函数在上是单调函数；

（3）求证：对于任意的，总存在，满足；并确定这样的的个数．

例13 已知二次函数f (x)=ax²+bx+c (a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f (c)=0，且0<x<c时，f (x)>0（1）试比较与c的大小；（2）证明：-2<b<-1；（3）当c>1,t>0时，求证：

1．  设数列{a_n}、{b_n}分别为正项等比数列，S_n、T_n分别为{lga_n}与{lgb_n}的前n项的和，且，则=        。

2．  已知函数的图象与直线y=-1的交点中距离最近的两点间的距离为，则函数的最小正周期为__________

3．  已知，则代数式的值在哪两个相邻的整数之间？

4．  已知=，=且//，，θ∈(0,)。（1）求k与θ的关系式k=f(θ)；（2）求k=f(θ)的最小值。

5．  如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

∠ADC=90⁰ ，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在棱BC上且CF=2FB。

（1）       求证：FG//平面PAB；

（2）       求证：FG⊥AC

（3）       当∠PDA多大时，FG⊥平面AEC。

6．  已知 函数F(x)= -x³+ax²+b (a,b∈R)。（1）若设函数y=F(x)的图象上任意两个不同的点的连线的斜率小于1，求证：|a|<；（2）若x∈[0,1]，设函数y=F(x)的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论|k|≤1成立的充要条件。

【例2】            已知数列{a_n}、{b_n}都是等差数列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、分别表示数列{a_n}、{b_n}的前k项和（k是正整数），若S_k+=0，则a_k+b_k的值为             

【例2】  若－=1，则sin2θ的值等于                      。

【解】  由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ   ①

令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t²+4t-4=0，解之得t=2-2。

【例3】  若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是      

【解】  令y₁=,y₂=k(x-2),由图可知k_AB<k≤0，

其中AB为半圆的切线，计算k_AB= -,∴-<k≤0。

我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、

特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。

1.特殊值法

【例4】  设a>b>1，则log_ab,log_ba,log_abb的大小关系是                           。

【解】  考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则log_ab=,log_ba=2,log_abb=,

∴log_abb<log_ab<log_ba

2．特殊函数法

【例5】  如果函数f(x)=x²+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是                        。

【解】  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

3．特殊角法

【例6】  cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值为                                。

【解】  本题的隐含条件是式子的值为定值，即与α无关，故可令α=0°，计算得上式值为。

4．特殊数列法

【例7】已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比数列，则的值是                   。

【解】  考虑到a₁,a₃,a₉的下标成等比数列，故可令a_n=n满足题设条件，于是=。

5．特殊点法

【例8】  椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是                      。

【解】  设P(x,y)，则当∠F₁PF₂=90°时，点P的轨迹方程为x²+y²=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F₁PF₂=0；点P在y轴上时，∠F₁PF₂为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-<x<。

7．特殊模型法

【例9】  已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；

③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β；

⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β；

则其中正确的命题是                         。（把你认为正确的命题序号都填上）。

【解】  依题意可构造正方体AC₁，如图1，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。

图1                                 图2

练习

1．函数f（x）＝|x²－a| 在区间［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是        

【解析】f（x）是偶函数，所以M（a）是在［0，1］内的最大值，当a≤0时，f（x）＝x²－a，则M（a）＝1－a；当a>0时，由图像可知，若，则M（a）＝a，若，则M（a）＝f（1）＝1－a，

从而M（a）＝ ，    M（a）_min＝．

2．如图，非零向量与轴正半轴的夹角分

别为 和，且，则

与轴正半轴的夹角的取值范围是      

【解析】与轴正半轴的夹角的取值范围应在向量

  与轴正半轴的夹角之间，故与轴正半轴的夹角的取值范围是．

3．已知函数的定义域是，值域是，则满足条件的整数对共有_________________个

【解析】在R上是偶函数，故的图象关于y轴对称，作出的图象，截取值域是 的一段，发现a，b的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必须取0，－2?2必须至少取一个，故有5个．

4．三角形ABC中AP为BC边上的中线，，，则＝    

【解析】，即，，

，故选C．

5．如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为       

图1                          图2

【解析】如图2，设，，则．由平行四边形法则，知NP∥AB，所以＝，同理可得．故，

6．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，数列{a_n}满足：a₁＝1，a_n＋1＝则数列{a_n}的前2007项的和为           

【解析】∵a_2n＋2＝a_2n＋1＋1＝（2a_2n＋1）＋1＝2a_2n＋2，∴a_2n＋2＋2＝＝2（a_2n＋2），

∴数列{a_2n＋2}是以2为公比、以a₂＝a₁＋1＝2为首项的等比数列．

∴a_2n＋2＝2×2 ^n－1，∴a_2n＝2 ⁿ－2．

又a_2n＋a_2n＋1＝ a_2n＋2a_2n＋1＝3a_2n＋1，∴数列{a_n}的前2007项的和为

a₁＋（ a₂＋ a₃）＋ （ a₄＋ a₅）＋ （ a₆＋ a₇）＋ …＋ （ a₂₀₀₆＋ a₂₀₀₇）

＝ a₁＋（3a₂＋1）＋ （3a₄＋1）＋ （3a₆＋1）＋ …＋ （3a₂₀₀₆＋1）

＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×2²－5）＋ （3×2³－5）＋ …＋ （3×2¹⁰⁰³－5）

＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×2²－5）＋ （3×2³－5）＋ …＋ （3×2¹⁰⁰³－5）

＝ 3×（2＋2²＋2³＋…＋2¹⁰⁰³＋1－5×1003

＝6×（2¹⁰⁰³－1）＋1－5×1003＝6×2¹⁰⁰³－ 5020 ，故选D．

7．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一动点，则CP＋PA₁的最小值是___________．

【解析】答案：5 ．连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值．通过计算可得ÐA₁C₁C＝90°．

又ÐBC₁C＝45°，\ÐA₁C₁C＝135° 由余弦定理，可求得A₁C＝5．

8．已知函数f（x）、g（x）满足x∈R时，f′（x）>g′（x），

则x₁<x₂时，则f（x₁）－f（x₂）___ g（x₁）－g（x₂）．（填>、<、＝）

【解析】记，则．

由已知，，所以在R上单调递增，

所以x₁<x₂时，，即f（x₁）－f（x₂） < g（x₁）－g（x₂）．

9．△ABC内接于以O为圆心的圆，且．

则 ＝        ．

【解析】通过画图，可求，即与的夹角，再通过圆心角与圆周角的关系，求得，答案：．

10．若关于x的方程有不同的四解，则a的取值范围为          ．

【解析】x＝0是方程的一个根，其余根即方程（x＞0）的根．

由f（x）＝（x＞0）与y＝1的交点个数，可知a＞0．

且f（）＞1，得a＞2．

11．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________．

【解析】提示：依题意，可知 从而可知，所以有

 又为正整数，取，则

，所以．从而，所以．

又，所以，因此有最小值为．

下面可证时，，从而，所以．

又，所以，所以．

综上可得，的最小值为11．

12．如图，在中，，，l为BC

的垂直平分线，E为l上异于D的一点，则等于____．

【解析】，又，

．

13．O为坐标原点，正△OAB中A、B在抛物线上，正△OCD中C、D在抛物线上，则△ OAB与△OCD的面积之比为          ．

【解析】设△OAB的边长为，则不妨设，代入，得；同理，设△OCD的边长为，可得．，．

14．已知二次函数f（x）＝x²－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a?b）>f（c?d）的解集为___________．

【解析】a?b＝2sin²x＋1≥1， c?d＝cos²x＋1≥1 ，f（x）图象关于x＝1对称，

∴f（x）在（1，＋∞）内单调递增．

由f（a?b）>f（c?d）a?b>c?d，即2sin²x＋1>2cos²x＋1，

又∵x∈[0，π] ，∴x∈（）．故不等式的解集为（）．

第二部分    解答题

例1．已知函数为实常数．

（1）a在什么范围内时，只有一个公共点？

（2）若上有最小值2，求a的值．

【解析】（1）．

①当时，，所以在R上单调增，此时只有一个公共点；

②当时， ．由，得．

在上列表：

＋

0

­­­─

0

＋

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

因为只有一个公共点，所以或．

所以，得．

综上，，只有一个公共点．

（2）．

由，可知为偶函数，则原题即为在上有最小值2．

设（），则．

①时，，所以在上单调增，所以．

因为在上有最小值2，所以，所以．

②时，，无最小值，不合题意．

③时，，．

（I）时，，所以在上单调减，所以，

此时在上的最小值为，不合．

（II）时，由，得．

在上列表：

2

─

0

­­＋

ㄋ

极小值

ㄊ

∴．

综上，的值为．

例2．椭圆的两焦点为，（为坐标原点），P为椭圆上一点， 的斜率分别为和．

（1）求证：；

（2）若△的面积为3，求椭圆方程．

【解析】解法一   （1） 依题意，

令，则．

∴．∴，所以．

（2）在Rt△中，，

所以．

所以椭圆方程为．

解法二  （1）令，由题意，得

，     ①            ．       ②

由①、②，可知 ．

∴，∴．

例3、设函数f (x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈，（a为实数）（1）求当x∈时f (x)的解析式；（2）若f (x)在区间上为增函数，求a的取值范围；（3）求在上f (x)的最大值。

解：（1）设x∈，则-x∈，又f (x)为奇函数，则f (x)= - f (-x)=

∴当x∈时f (x)=

（2）由于f (x)在上为增函数，则f ^/ (x)=

显然，上式对任意的x∈恒成立，即对任意的x∈恒成立，

可得：a>-1

(3)当a>-1时，由于f (x)在x∈上为增函数，则f (x)_max= f (1)=2a-1

当a<-1时由f ^/ (x)=0得：x=（此时∈），

且知当x∈(0,)时, f ^/ (x)>0, 当x∈(,1), f ^/ (x)<0

∴f (x)_max= f ()=

例4. 已知b>-1,c>0，函数f (x)=x+b的图象与函数g (x)=x²+bx+c的图象相切。（1）设b=h(c)，求h(c)；（2）设 (x>-b)在上是增函数，求c的最小值；（3）是否存在常数c，使得函数H(x)= f (x) g (x)在内有极值点？若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由。

思路点击：本题材不论从函数类型，还是从涉及的函数内容角度欣赏都非常象高考题，尤其是第（3）题中的探索型问题使题目更显时尚和有档次，不过越是华丽的题目，解法往往越平易近人。

解：（1）依题设令f ^/ (x)= g ^/ (x)，即2x+b=1, ∴x=为切点横坐标。

∴f ()= g ()，故(b+1)²=4c,即b= h(c)=

（2）∵=，∴D ^/ (x)=

由于D (x)在上是增函数，

∴D ^/ (x)=()()≥0在上恒成立。又x>-b ,c>0

∴≥0在上恒成立，即

而由（1）得，+，∴

∵函数t=1-x在上的最大值为2，∴，即c≥4

∴c的最小值为4。

（3）由H(x)= f (x) g (x)=x³+2bx²+(b²+c)x+bc得H ^/(x)= 3x²+4bx+b²+c

令H ^/(x)=0得：△=4(b²-3c)=(c-4+1)>0，即c-4+1>0

解得：<2-,或>2+,又∵c>0 ∴0<c<7-4或c>7+4

∴存在常数c∈(0,7-4)∪(7+4,+∞)，使H(x)在内有极值点。

点评：导数的加盟，大大拓展了命制函数类探索题的空间，从两个样题来看，函数类的探索题的解决离不开函数的主体知识，因此夯实函数“三基”就可以以不变应万变。

例5．某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为10，2006年底人均住房面积为20．据此计算：

（1）1996年底人均住房面积超过14，试给出证明；

（2）若人口年平均增长率不超过3?，能否确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加？为什么？

【解析】（1）设86年底人口总数为a，住宅总面积10a，年人口增长的公比为（即后一年是前一年人口的倍），年住宅总面积的公差为，则2006年底人均住房面积为，则，故1996年底人均住房面积．

（2）2008年底人均住房面积，

2008年与2006年底人均住房面积之差．

∵，∴只需考虑分子．

∵，∴单调递减．

又，

∴．

∴．

此即表明，2008年底人均住房面积仍超过2006年底人均住房面积．

例6．已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若成等差数列时，不等式恒成立．

（1）求实数的取值范围；（2）求角B的取值范围；（3）求实数的取值范围．

(1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，； 当，即时，，时，时，，即当时，能使在R上单调递增，∴．

(2)成等差数列，∴，由余弦定理：cosB==

=，∴，

(3) 在R上单调递增，且，

所以，即

而，

故，即，，即，即．

例7．已知，，数列满足，

， ．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；

（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）∵，，，

∴，即．

    又，可知对任何，，所以．

    ∵，∴是以为首项，公比为的等比数列．

    （2）由（I），可知＝（）．

    ∴，．

    当n＝7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．

∴当n＝7或n＝8时，取最大值，最大值为．

（3）由，得．       （*）

依题意，（*）式对任意恒成立，

  ①当t＝0时，（*）式显然不成立，因此t＝0不合题意．

　　②当t<0时，由，可知（）．

　　　而当m是偶数时，因此t<0不合题意．

　　③当t>0时，由（），

∴，∴（）．

　　设（），

∵ ＝，

　　∴．

　　∴的最大值为．所以实数的取值范围是．

例8．在△ABC中，已知A（0，1），B（0，－1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且＝4．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）若，

①试确定点F的坐标；

②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想．

【解析】（1）如图，设点C（x，y）（x≠0），E（x_E，0），F（x_F，0），由A，C，F三点共线，，x_E＝．同理，由B、C、F三点共线可得x_F＝．

化简，得点C的轨迹方程为x²＋4y²－4（x≠0）．

∵＝4，∴x_E?x_F＝＝4．

（2）若，

①设F（x_F，0），C（x_C，y_C），

∴（x_c，y_c＋1）＝－8（x_F－x_c，y_c）．

∴x_c＝，y_C＝．

代入x²＋4y²＝4， 得x_F＝±．∴F（±，0），即F为椭圆的焦点．

②猜想：取F（，0），设F₁（－，0）是左焦点，则当P点位于直线BF₁与椭圆的交点处时，△PBF周长最大，最大值为8．

证明如下：|PF|＋|PB|＝4－|PF₁|＋|PB|≤4＋|BF₁|，

∴△PBF的周长≤4＋|BF₁|＋|BF|≤8．

例9．第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2009行．

（1）求证：第1行至第2008行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列也称等差数列）；

（2）各行的公差组成数列．求通项公式；

（3）各行的第一个数组成数列，求通项公式；

（4）求2009行的这个数．

【解析】（1）记表示第行第列的项．由已知知第1行是等差数列；

，

所以第2行数列是等差数列．

，

所以第3行数列是等差数列．

同理可证，第4，5，…，都是等差数列．

（2），

，则是等差数列，．

（3），．

∴数列是等差数列，，所以．

（4）．

例10．已知集合．

（1）求；

（2）若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，对于任意的，均有，求的取值范围．

【解析】（1）由得

当时，．当时， ，当时，．

综上，时，；时，；当时， ．

（2）当时，．而，故时，不存在满足条件的；

当时，，而是关于的增函数，所以随的增大而增大，当且无限接近时，对任意的，，只须满足

 解得．

 当时，．

显然，故不存在实数满足条件．

     当时，．，适合．

当时，．

，

，

，且

故．

故只需 即 解得．

综上所述，的取值范围是．

例11．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：

①且＝＋；②且＝．

（1）求及的坐标；

（2）若四边形的面积是，求的表达式；

（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

【解析】（1）．

．

（2）

．

（3）

．

∴ ，，．，

 ，，等等．

即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切，都有＜M成立．

例12．函数的定义域为，设．

（1）求证： ；

（2）确定t的范围使函数在上是单调函数；

（3）求证：对于任意的，总存在，满足；并确定这样的的个数．

【解析】（1）设，则，所以．

（2），令，得．

当时，时，，是递增函数；

当时，显然在也是递增函数．

∵是的一个极值点，∴当时，函数在上不是单调函数．

∴当时，函数在上是单调函数．

（3）由（1），知，∴．

又∵， 我们只要证明方程在内有解即可．

记，

则，，

，

∴．

①当时，，

方程在内有且只有一解；

②当时，，，

又，∴方程在内分别各有一解，方程在内两解；

③当时，方程在内有且只有一解；

④当时，方程在内有且只有一解．

综上，对于任意的，总存在，满足．

当时，满足，的有且只有一个；

当时，满足，的恰有两个．

例13 已知二次函数f (x)=ax²+bx+c (a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f (c)=0，且0<x<c时，f (x)>0（1）试比较与c的大小；（2）证明：-2<b<-1；（3）当c>1,t>0时，求证：

解：（1）∵函数f (x)的图象与x轴有两个不同的交点∴方程f (x)=0有两个不同的根

∵f (c)=0，∴c是方程f (x)=0的一个根

设方程的另一个根为x₀，则cx₀=,得x₀=

若<c,则由0<x<c时，f (x)>0得f ()>0与f ()=0矛盾。又方程f (x)=0有两个不同的实根，∴≠c，∴>c

(2) f (c)=0<==>ac+b+1=0  ∴b=-1-ac<-1

∵>c  ∴c<<==>b>-2  ∴-2<b<-1

(3) ∵０＜１＜ｃ∴f (１)>0即：a+b+c>0==>b>-a-c

∴

>

∵>c,c>1  ∴a<<1==>a<c  ∴

∴

8．  设数列{a_n}、{b_n}分别为正项等比数列，S_n、T_n分别为{lga_n}与{lgb_n}的前n项的和，且，则=        。

9．  已知函数的图象与直线y=-1的交点中距离最近的两点间的距离为，则函数的最小正周期为（ C ）

A．   B．   C．   D．   

10．已知，则代数式的值在哪两个相邻的整数之间？

解：由得：，∴

∴==

具体计算，易证数列{x_n}是递增的

∴ 0<<1，∴代数式的值在2和3之间。

11．已知=，=且//，，θ∈(0,)。（1）求k与θ的关系式k=f(θ)；（2）求k=f(θ)的最小值。(≥)

12．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

∠ADC=90⁰ ，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在棱BC上且CF=2FB。

（4）       求证：FG//平面PAB；

（5）       求证：FG⊥AC

（6）       当∠PDA多大时，FG⊥平面AEC。

13．已知 函数F(x)= -x³+ax²+b (a,b∈R)。（1）若设函数y=F(x)的图象上任意两个不同的点的连线的斜率小于1，求证：|a|<；（2）若x∈[0,1]，设函数y=F(x)的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论|k|≤1成立的充要条件。

解：（1）函数y=F(x)的图象上任意两个不同的点为P₁、P₂且x₁≠x₂，则<1,即：

<==>

<==>,∵x₁是任意实数，∴ △₁=

即： ∵x₂是任意实数，∴ △₂=4a²+12(a²-4)<0  ∴|a|<

（2）当x∈[0,1]时，k=F ^/(x)=-3x²+2ax，则题意得：-1≤-3x²+2ax≤1当x∈[0,1]都成立。

若x=0,则a∈R；若x≠0，则，

 ∵在上，是增函数，∴

，当x=时取等号，∴2≤2a≤2即：1≤a≤

∴使|k|≤1成立的充要条件是1≤a≤。

另解（2）|k|≤1成立的充要条件是F ^/(x)=-3x²+2ax (0≤x≤1)的最大值M≤2，最小值m≥-1

∵F ^/(x)=-3x²+2ax= ，F ^/(0)=0

∴或或解得：1≤a≤

14．已知函数f (x)=，其中a是大于零的常数，（1）求函数f (x)的定义域；（2）当a∈(1,4)时，求函数f (x)在上的最小值；（3）若对任意x∈，恒有f (x)>0，试确定a的取值范围。

解：（1）由得得(*) 方程x²-2x+a=0的判别式△=4(1-a)

∴当a>1时，△<0 ，x²-2x+a>0恒成立，∴由(*)得：函数的定义域为(0,+∞)

  当0<a≤1时，△≥0, 方程x²-2x+a=0有两个根：x₁=1-, x₂=1+

∴由(*)得：函数的定义域为：(0, 1-)∪( 1+,+ ∞)

（2）当a∈(1,4)时，令g(x)= ,易证g(x)在(0,上递减，在上递增。

∵a∈(1,4), ∴<2，∴g(x)在上递增，∴f (x)在上递增

∴函数f (x)在上的最小值为f (2)= ；

（3）①若0<a≤1时，则x=2时，f (2)=<0，不满足条件；

②若1<a<4时，由（2）得f (x)在上的最小值，只要>0, ∴2<a<4；

③若a≥4时，得f (x)在上的最小值，此时>0恒成立。

综上所述，对任意x∈，恒有f (x)>0成立的a的取值范围为(2,+∞)。

 （3）又解：∵f (x)= ＞0，∴ ∴a>3x-x²在上恒成立，

  ∵y=3x-x²在上是减函数，∴y_max= f (2)=2，∴a>2

8．设a,b,c是一个三角形的三条边的长，且a+b+c=1。

（1）证明：a,b,c均小于；（2）若a≥b≥c，对于整数n≥2，证明：bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ

（3）证明：对于整数n≥2,

证明：（1）不妨设a≥b≥c，那么b+c>a，而a+b+c=1, ∴a+b+c>2a，∴a<

∴a,b,c均小于

（2）(b+)ⁿ=

   ≥=

∵n≥2，∴，∴bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ

（3）不妨设a≥b≥c，则由（2）知：bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ ，aⁿ+cⁿ<(a+)ⁿ

∴

又由（1）知a<，b<，则

∴1<