安徽省安庆一中2009年高三第二学期高考模拟试卷（三）
数学（理）
一、 选择题：（每题5分）
1、 设集合
，则
是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、命题“若
，则
”的逆否命题是（ ）
A、若
则
B、若
则
C、若则
D、若则
3、设函数
是定义在实数集上，它的图象关于直线
对称，并且当
时，
，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
4、如果函数
的图象关于直线
对称，那么
=（ ）
A、
B、
C、
D、
5、已知函数
在
内是减函数，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
6、已知
和
表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A、和
B、
和
C、和
D、和
7、设双曲线
的半焦距为
，直线
过点两点
。已知原点到直线的距离为
，则双曲线的离心率是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、点A是
所在平面外一点，E，F分别在线段AB、CD上，且
，设
，
表示EF与AC所成的角，
表示EF与BD所成的角，则（ ）
A、
在
上是增函数
B、在上是减函数
C、在
上是增函数
D、在上是常数
9、以圆
内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数等于（
）
A、76 B、
10、设
是无穷等差数列，
是其前
项的和，若
存在，则这样的等差数列
A、可能存在但不确定 B、必存在且不是唯一的C、有且仅有一个D、必不存在（ ）
二、填空：（每题5分）
11、若
，则复数
在复平面内所对应的点在第
象限
12、已知长方体的全面积为
，则它的对角线长的最小值为
13、设随机变量
，则
=
14、若
，则其展开式中
的系数是
15、设
是正实数，则函数
的最小值为
16、（本题满分12分）
设函数
，其中向量
，
，
,且
的图像讲过点
.
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数的最大值及此时x值的集合；
（Ⅲ）求函数的图像中，求出离坐标轴y轴最近的对称方程.
17、（本题满分12分）
已知各项均为正数的数列满足
，且
是
的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式
；
（Ⅱ）若
，
,求使
成立的正整数n的最小值.
18、（本题满分12分）
一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球。
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两个球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的数学期望。
19、（本题满分13分）
如图，三棱锥
中，
底面
于
，
,
,点
、
分别是
和
的中点
（Ⅰ）求证：侧面
侧面
；
（Ⅱ）求点到侧面
的距离；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
20、（本题满分13分）
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为
，右顶点为
.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线
与双曲线恒有两个不同的交点A和B且
（其中
为原点），求k的取值范围
21、（本题满分13分）
已知函数
，
（Ⅰ）若
在
取得极值，求b的值；
（Ⅱ）若
在
上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当
时，求方程
有根时
的最小值。
一、1、D 2、A 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C
二、11、二 12、2cm 13、1 14、49720， 15、5www.ks5 u.com
三、16、解：
（1）
……3分
，得
……………………………5分
（2）由（1）得
………7分
当
时，
的最大值为
…………………………………9分
由，得
值为集合为
………………………10分
(3)由
得
所以
时，
为所求….12分
17、解：www.ks5 u.com
(1)
数列
的各项均为正数，
即
，所以数列是以2为公比的等比数列……………………3分
是
的等差中项，
数列的通项公式
…………………………………………………………6分
（2）由（1）及
得
，…………………………………………8分
①
②
②-①得，
…10分
要使
成立，只需
成立，即
使成立的正整数n的最小值为5…………………………………12分
18、解：(1)解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，
“两球恰好颜色不同”共2×4+4×2=16种可能，
………………4分
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验 每次摸出一球得白球的概率为
“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
………………………4分
（2）设摸得白球的个数为
，依题意得
……
…………………………………………………………………………………………10分
……………………………………………………12分
19、证明：（1）
平面
平面
平面,
又
平面
侧面
侧面……………………4分
（2）
为
的中点，
又侧面侧面 从而
侧
故
的长就是点
到侧面的距离在等腰
中，
……………………………………8分
说明：亦可利用向量的方法求得
（3）几何方法：可以证明
就是二面角
的
平面角……………………………………10分
从而
………………13分
亦可利用等积转换算出
到平面
的高，
从而得出二面角的平面角为
……13分
说明：也可以用向量法：平面
的法向量为
平面的法向量为
………………10分
二面角的平面角为
20、解（1）设双曲线方程为
由已知得
，再由
，得
故双曲线
的方程为
.…………………………………………5分
（2）将
代入得
由直线
与双曲线交与不同的两点得
即
且
. ① 设
，则…………………8分
，由
得
，
而
.…………………………11分
于是
，即
解此不等式得
②
由①+②得
故的取值范围为
…………………………………13分
21、解：（1）由题设知
，又
，得
……………2分
（2）
…………………………………………………3分
由题设知
时
…………………………………………………4分
（当
时，取最小值）……………………4分
而
时，当且仅当时
…………………7分
（3）
时，方程
变形为
令
得
………9分
由
，得
或
，
由
，得
………………………………11分
又因为
故
在
取得唯一的极小值
又当
时，的值
，当
时，
的值
，函数
和
草图如右
两图像由公共点时，方程有解，
，
故
的最小值为，………………………………………………13分
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