第十、十一讲   三角函数的图象与性质

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　D　）

（A）偶函数且它的图象关于点对称

（B）偶函数且它的图象关于点对称

（C）奇函数且它的图象关于点对称

（D）奇函数且它的图象关于点对称

2．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为    （ D ）

（A）       （B）        （C）      （D）

3．函数y = －x?cosx的部分图象是(  D  )

4．① 存在使

② 存在区间（a，b）使为减函数而＜0

③ 在其定义域内为增函数

④ 既有最大、最小值，又是偶函数

⑤ 最小正周期为π

以上命题错误的为____________.①②③⑤

5．把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y对称，则φ的最小正值为       

6．设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=时，有最大值f（）=4.

（1）求a、b、ω的值；

（2）若角a、β的终边不共线，f（a）=f（β）=0，求tan（a+β）的值.

【专家解答】（1）由=π，ω＞0得ω=2.  ∴f（x）=asin2x+bcos2x.

由x=时，f（x）的最大值为4，得

（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.

∴sin（2α+）－sin（2β+）=0.   ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0

∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.

∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.

【热点透析】

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来  本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：

1  考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 

2  三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力  在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 

3  三角函数与实际问题的综合应用 

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用

★★★突破重难点

【范例1】右图为y=Asin(wx+j)的图象的一段，求其解析式。

解析  法1以M为第一个零点，则A=，

所求解析式为

点M（在图象上，由此求得

所求解析式为

法2. 由题意A=，，则

图像过点        

即 取

所求解析式为

【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A取正值.

 2. 由图象求解析式或由代数条件确定解析式时,应注意:

(1) 振幅 A=

(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为, 由此推出的值.

(3) 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.

【范例2】已知函数，

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；

（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。

解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即，

从而得，

∴函数的定义域为，

∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。

（2）单调递增区间是

单调递减区间是，

（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。

（4）∵

     ∴函数f(x)的最小正周期T=2π。

【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质

【范例3】设函数，其中向量，，，且的图象经过点．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．

解：（Ⅰ），

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为．

【范例4】设函数，，

其中，将的最小值记为．

（I）求的表达式；

（II）讨论在区间内的单调性并求极值．

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．

解：（I）我们有

         ．

由于，，故当时，达到其最小值，即

．

 （II）我们有．

列表如下：

极大值

极小值

由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．

【范例5】已知二次函数f(x)对任意xÎR，都有f(1-x)= f(1+x)成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当xÎ [0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．

解析:设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．

∵　，，，，，

，

∴　当时，

，．

∵　，　∴　．

当时，同理可得或．

综上的解集是当时，为；

当时，为，或．

【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点.

【变式】试判断方程sinx=实数解的个数.

解析 方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数

∵|sinx|≤1∴||≤1,  |x|≤100л

当x≥0时，如右图，此时两线共有

100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。

【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性.

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绵阳市梓潼一中高2009级三诊模拟考试物理试题 2009-4-8

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第九讲  三角函数的求值

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．（海南）若，则的值为（C）

Ａ．      Ｂ．            Ｃ．              Ｄ．

2．（天津）“”是“”的（A）

Ａ．充分而不必要条件     Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件            Ｄ．既不充分也不必要条件

3. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时， （  D  ）

（A）           （B）           （C）           （D）

4．（江苏）若，，则_____

5．（浙江）已知，且，则的值是

6．已知函数f(x)＝－sin²x＋sinxcosx．

   (Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) ，

   解得

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.

【热点透析】

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一  通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍

★★★突破重难点

【范例1】设0£q£p,P=sin2q+sinq-cosq

（1）   若t= sinq-cosq,用含t的式子表示P;

（2）   确定t的取值范围，并求出P的最大值.

解析（1）由有

（2）

即的取值范围是

在内是增函数，在内是减函数.

的最大值是

【点晴】间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．

【范例2】已知为的最小正周期， ，且．求的值．

解：因为为的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以

【范例3】设．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

解：（Ⅰ）

．

故的最大值为；

最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

从而．

【范例4】已知的面积S 满足且与的夹角为.

(1) 求的取值范围；

(2) 求函数的最小值.

解： （1）由题意知，   ①

   ②

由②①，得即由得

又为与的夹角，

（2）

＝

即时，的最小值为3

【范例5】已知函数，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

解：（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范围是．

【变式】已知f（x）=2asin²x－2asinx+a+b的定义域是［0,］，值域是［－5，1］,求a、b的值.

解析  令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，

f（x）=g（t）=2at²－2at+a+b=2a（t－）²+b.

当a＞0时，则     解之得a=6，b=－5.

当a＜0时，则    解之得a=－6，b=1.

【点睛】注意讨论的思想

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第八讲 数列综合

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　B　）

Ａ．3      Ｂ．2      Ｃ．1      Ｄ．

2.已知等差数列的前项和为，若，则          ．7

3. 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于

A．         B.          C.           D.

【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，

则

即，所以，故选择答案C。

4.设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（　B　）

A．10      B．11      C．12      D．13

5. 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n .

解析：解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时，a₃=12， a₁₅=72， 有a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

6.已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.

(I)求数列的首项和公比；

(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；

解: (Ⅰ)依题意可知,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,

,即数列的前10项之和为155.

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查

间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在

一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出S_n与a_n的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．

理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知数列，满足，，且（）

（I）令，求数列的通项公式；

（II）求数列的通项公式及前项和公式．

解：（Ｉ）由题设得，即（）

易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．

（II）解：由题设得，令，则．

易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 由解得

， 求和得．

【变式】在等差数列中，，前项和满足条件，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和。

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。

（Ⅱ）由，得。所以，

当时，；

当时，

，

即。

（理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

【范例2】已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；

（3）记（n=1,2,……），求数列{b_n}的前n项和S_n。

解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；

 （2），

=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），

 （3），而，即，

，同理，，又

【文】已知函数，、是方程的两个根()，是的导数

设，，.

(1)求、的值；

(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和．

解、(1)  由    得           

     (2)            

       又 

数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;

【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3―2构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁＝f（x₀）；

②若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂＝f（x₁），并依此规律继续下去．

现定义f（x）=．

（Ⅰ）若输入x₀＝，则由数列发生器产生数列｛x_n｝．请写出数列｛x_n｝的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值；

（Ⅲ）（理）若输入x₀时，产生的无穷数列｛x_n｝满足：对任意正整数n,均有x_n＜x_n＋1，求x₀的取值范围．

解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞）

∴数列｛x_n｝只有三项x₁＝，x₂＝，x₃＝－1

（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x²－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2

即x₀＝1或2时，x_n＋1＝＝x_n，故当x₀＝1时，x₀＝1；当x₀＝2时，x_n＝2（n∈N）

（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，则x₂＜－1或1＜x₁＜2

对于函数f（x）＝。若x₁＜－1，则x₂＝f（x₁）＞4，x₃＝f（x₂）＜x₂

当1＜x₁＜2时，x₂＝f（x）＞x₁且1＜x₂＜2依次类推可得数列｛x_n｝的所有项均满足x_n＋1＞x_n（n∈N）

综上所述，x₁∈（1，2），由x₁＝f（x₀），得x₀∈（1，2）

【范例3】已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增

解：（I）当时，由已知得．

因为，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即数列是常数数列．

（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数．

由（II）知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．

【文】设是数列（）的前项和，，且，，．（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列，则等于（ D ）

   A.    B.     C.     D.

2. 等差数列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100,则n=（　B　）

A．9      B．10       C．11       D．12

3.）数列的前项和为，若，则等于（　B　）

A．1      B．      C．      D．

4.设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则＝

A.           B.                  C.          D.

解析:由等差数列的求和公式可得且

所以,故选A

5.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）

A．55　　　　  B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴

=，选C.

6.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　

解：，曲线y=xⁿ(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2^n-1-(n+1)2ⁿ

切点为（2，-2ⁿ）,所以切线方程为y+2ⁿ=k(x-2),令x=0得 a_n=(n+1)2ⁿ,令b_n=.数列的前n项和为2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2

　★★★高考要考什么

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

    公比含字母时一定要讨论

(理)无穷递缩等比数列时，

2．错位相减法求和：如：

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：               

6．公式法求和       

7．倒序相加法求和

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】设数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项；  （Ⅱ）设，求数列的前项和．

解 (I)

验证时也满足上式，

(II) ，   ①

  ②   

   ①-② ：  ，

【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

【范例2】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（I）求，，，；   （II）求数列的前项和；

（Ⅲ）(理)记，，

求证：．

（I）解：方程的两个根为，，

当时，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以时；

当时，，，所以．

（II）解：．

（III）证明：，

所以，．

当时，，

，

同时，

．

综上，当时，．

【变式】在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

解、（Ⅰ）证明：由题设，得，．

又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．

所以数列的前项和．

（Ⅲ）证明：对任意的，

．

所以不等式，对任意皆成立．

【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．

【范例3】已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）       证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）       设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

（3）       记b_n=，求｛b_n｝数列的前项和S_n，并证明S_n+=1.

解：（Ⅰ）由已知，       ，两边取对数得

        ，即

是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知   （*）

                =

        由（*）式得

（Ⅲ）   

又

又.

【变式】已知数列满足，并且（为非零参数，）．

（Ⅰ）若成等比数列，求参数的值；

（Ⅱ）设，常数且．证明．

　　解：（I）由已知且

　　　若、、成等比数列，则即而解得

　　（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故 则　

　　因此，对任意

　　当且时，

所以

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第六讲 求通项公式

★★★高考在考什么

【考题回放】

1. 已知数列{ a_n }的前n项和为S_n，且S_n=2(a_n -1)，则a₂等于(  A  )

A. 4        B. 2         C. 1        D. -2

2．在数列中，，且，则  35 ．

3．在数列｛a_n｝中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),则该数列的通项a_n=__2 ⁿ⁺¹-3___.

4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　2ⁿ⁺¹-2    .

5.已知数列{}的前项和，则其通项        ；若它的第项满足，则       . 2n-10  ;  8

6.已知数列对于任意，有，若，则           ．4

7. 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁, a₃, a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n .

解析  ∵10S_n=a_n²+5a_n+6，     ①    ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)， ②

   由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

★★★高考要考什么

一、 根据数列{a_n}的前n项和求通项Sn= a₁+ a₂+ a₃+ ……+ a_n   

已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候a_n,但不可忽视n=1.

二、由递推关系求数列的通项

1. 利用迭加a_n-a_n-1=f(n)、迭乘a_n/a_n-1=f(n)、迭代。

2.一阶递推,我们通常将其化为看成{b_n}的等比数列。

3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得a_n）。

4.对含a_n与S_n的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】记

（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

解析（I）

整理得

（Ⅱ）由

所以

．

【变式】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．

解：（I），，，

因为，，成等比数列，所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于

，

，

…………

，

所以．

又，，故．当时，上式也成立，

所以

【范例2】设数列的首项．

（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．

解：（1）由  整理得  ．

又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

（2）方法一：    由（1）可知，故．则

又由（1）知且，故，因此  为正整数．

方法二：由（1）可知，

因为，所以  ．

由可得，即  

两边开平方得    ．即 为正整数

【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且．

求证：(1)；      (2)若表示数列的前项之和，则．

解析： (1)由已知得，

又因为，所以, 因此，即．

(2) 由结论(1)可知  ，即，

于是，即．

【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P₁，再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点P₂），如此进行下去，得到点列{ P_n}}.

求：（Ⅰ）的关系式；

   （Ⅱ）数列的通项公式；

（Ⅲ）（理）当时，的极限位置的坐

解析 （Ⅰ）由题得 

过点P₁（的切线为

过原点

又过点P_n（的

因为过点P_n-1（  

整理得

（Ⅱ）由（I）得

所以数列{x_n-a}是以公比为的等比数列

（Ⅲ）

的极限位置为（

【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S_n，求通项，破解方法：利用S_n-S_n-1= a_n，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

【变式】已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.

求证：当n时，(Ⅰ)  x （Ⅱ）.

解、 (I ) 证明：因为

所以曲线在处的切线斜率

即和两点的直线斜率是 以.

（II）因为函数，当时单调递增，

而，

所以，即   因此

又因为  令  则

因为    所以

因此  故

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第五讲 等差等比

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．在等差数列中，，则（  A ）

A.       B.          C.        D. -1或1

2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ D  ）

A.       B.      C.    D.

3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（　B　）

  A．         B．          C.          D．

4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）

A．2      B．3      C．4      D．5

5.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　B　）

Ａ．2      Ｂ．4      Ｃ．6      Ｄ．8

6. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．

★★★高考要考什么

等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列，若

等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n的一次函数

等差数列的前n项和 1．     2.     3.

等差中项: 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或

等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有

2.     对于等差数列，若，则。也就是：，

3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：

4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：

1当n为偶数时，， 2当n为奇数时，则，，

等比数列的判定方法:①定义法：若②等比中项：若，则数列是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。

等比数列的前n项和:1   2   3当时，

等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。

等比数列的性质:

1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有

2.     对于等比数列，若，则也就是：。

3．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．

解析 由已知得，   即 ，

解得或   或

经验证  或 均满足题意，即为所求．

【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．

【变式】已知等差数列｛a_n｝的公差和等比数列｛b_n｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a₁=b₁，a₃=3b₃，a₅=5b₅，求a_n，b_n．

解：由已知①②

由①，得a₁（3d²－1）＝2d          ③

由②，得a₁（5d⁴－1）＝4d          ④

因为d≠0，由③与④得2（3d²－1）＝5d⁴－1， 即5d⁴－6d²＋1＝0，解得d＝±1，d＝±．

∵d＞0，d≠1，∴d＝．代入③，得a₁＝－，故b₁=－.

a_n＝－＋（n－1）＝（n－6），b_n＝－×（）^n－1．

本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.

【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：

                      ，

                      ，，

                      …  …   …  …

已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为a_ij ( i≥j， i， j∈N^*)．

(1) 求a₈₃；

(2) 试写出a _ij关于i， j的表达式；

(3) 记第n行的和为A_n，求

解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。

又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　

（2）由（1）知，，∴．　

（3）．

【点睛】在新颖背景――数表中运用数列知识．

【文】在等比数列{a _n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m， a_m+2， a_m+1成等差数列

   （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明

解析（１）逆命题：在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m， a_m+2， a_m+1成等差数列，则 S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列

   （２）设{a_n}的首项为a₁，公比为q.    由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1

    ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m    ∵a₁≠0  q≠0 ，∴2q²－q－1=0 ，  ∴q=1或q=－

当q=1时，∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2，      ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列

当q=－时， ，

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ，     ∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列

综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真

【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．

【变式】等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：（Ⅰ）由已知得，， 故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

    假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．

    即．   ，

       ．    与矛盾．

    所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

【范例3】若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

解：（1）设的公差为，则，解得 ，数列为．

（2） ，  

    ，当时，取得最大值为626．

  （3）所有可能的“对称数列”是：

      ① ；  ② ；

      ③ ； ④ ．

对于①，当时，．   

 当时，

 ．     

 对于②，当时，．当时，．

 对于③，当时，；当时，．

 对于④，当时，；当时，．

 【点睛】在看懂题目意思基础上，注意各种情况的讨论，考察观察，分析，运用能力

【文】如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．

例如，数列与数列都是“对称数列”．

（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；

（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；

（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，

    数列为．   

（2）

           67108861． 

（3）．由题意得 是首项为，公差为的等差数列．

  当时， ．

  当时， 

                      ．

综上所述，

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海南省海南中学2009届高三第六次月考学科网

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第一卷    选择题（每小题2分，共44分）学科网

1.中国人民银行发行了奥运纪念币，该纪念币共有金、银币各两种，均为中华人民共和国法定货币。该套纪念币在本质上是：学科网

A、商品        B、纸币        C、铸币         D、一般等价物学科网

2. 就业是民生之本。解决就业问题，最根本的措施是要学科网

A、以科学发展观统领经济社会发展全局 学科网

B、以经济建设为中心，大力发展生产力学科网

C、劳动者树立自主择业观       学科网

D、党和政府坚持对人民负责的原则学科网

3.  2008年12月10日下午，中国人民银行召开会议，传达学习2008年12月8日―10日在京召开的中央经济工作会议精神，研究部署贯彻落实中央经济工作会议部署的具体措施。提出综合运用多种货币政策工具，灵活调节资金供求，这体现出了宏观调控措施的预见性和前瞻性。这说明： 学科网

A．市场调节是实现资源优化配置的惟一有效形式 学科网

B．市场调节和宏观调控是社会主义市场经济的有机组成部分 学科网

C．社会主义国家能够实行强有力的宏观调控 学科网

D．运用行政手段调节经济应自觉遵循价值规律 学科网

4．2008年5月23日，新成立的工业和信息化部拉开了电信重组序幕。铁通并入中国移动，中国联通和中国网通合并为新的中国联通。电信重组现象说明学科网

A．电信企业的劳动生产率普遍提高  B．电信企业的管理水平有待于提高学科网

C．市场竞争是由政府控制的        D．优胜劣汰是市场竞争的结果学科网

5．2008年4月21日，小辉以7.00的汇率卖出1000美元，并将换得的人民币存入银行，存期为一年，年利率为2.25%，利息税率为5%，理论上存款到期应得本息为学科网

A．7157.5元     B．7000元    C．7149.6元        D．6850.4元 学科网

6、2009年要继续加大对“三农”、就业、社会保障、教育、医疗、节能减排、自主创新、先进装备制造业、服务业、中小企业、重大改革等方面的支持力度，加大对低收入家庭的补贴和救助力度，这一系列举措的最主要任务和目标是：       学科网

A.增加就业     B.稳定物价     C.促进经济增长      D.保持财政收支平衡学科网

7、以上举措表明：       学科网

A、国家机构坚持依法治国原则 学科网

B、我国人民民主专政的国家性质和中国共产党的性质学科网

C、中国共产党坚持民主集中制原则 学科网

D、中国共产党履行经济管理和公共服务的职能 学科网

8. 阳光财政、民主财政再次成为政府打造阳光政府、民主政府的标志。阳光、民主财政，即公共财政的决策，执行的程序、资金的流向都必须公开，人大代表可以对其进行监督。这学科网

①体现了人民民主专政的本质    ②体现人大与政府之间监督与被监督的关系学科网

③说明人民民主权利的日益扩大  ④保证中央和地方国家权力的统一学科网

A、①②        B、①③          C、②③        D、③④学科网

9.目前，近17万名宗教界人士进入中国各级人民代表大会和政治协商会议，每年就国家经济社会发展和宗教自身建设提出大量建议。这表明 学科网

A．信教群众与不信教群众享有平等的政治权利   学科网

B．宗教已与社会主义社会完全相适应学科网

C．我国公民享有宗教信仰的自由   学科网

D．我国坚持政教合一原则，宗教与国家政权紧密结合学科网

10. 2008年８月8日，北京奥运会开幕的夜晚，全球几十亿电视观众聆听三千儒生吟诵中国先哲孔子的名句――“四海之内，皆兄弟也”，“有朋自远方来，不亦乐乎”；与此同时，三种字体的巨大汉字“ 和”依次呈现。上述材料符合我国外交政策的内容，具体体现为（   ）学科网

①外交政策的基本立场                       ②外交政策的基本目标 学科网

③外交政策的基本准则                       ④外交政策的基本立足点学科网

A、①②          B、①③           C、③④          D、②③学科网

11．全国各级政府都在网上开设“纠风之窗”。“纠风之窗”主要针对当前群众反映强烈的上学难、上学贵、和看病难、看病贵的问题，收集群众的意见，方便群众监督。对此，公民对国家机关及其工作人员进行监督的行之有效的重要途径是学科网

A． 参加听证会                    B．通过检察机关进行监督  学科网

C．直接在政府开设的网上进行举报   D．通过网站了解政府信息学科网

我们《文化生活》中所讲的“文化”既不同于广义的“文化”，也不同于狭义的“文化”，是建设中国特色社会主义文化中的“文化”。学科网

12、我们所讲的“文化”包括学科网

①语言和文字                 ②自然科学和科技学科网

③自然现象和社会现象         ④物质成果和精神成果学科网

⑤文学艺术和科学知识         ⑥世界观、人生观和价值观学科网

A．①②③      B．①②④⑤       C．①②⑤       D．①②⑤⑥学科网

13、《西游记》是我国著名的神话小说，其中塑造出的一系列栩栩如生的文学形象，如孙悟空、猪八戒以及牛魔王等，都给人们留下了很深的印象。但这些神话形象都可以从人们的生活实践中找到各自的影子。如果人们在实践中根本就没有遇见过猴、猪与牛等动物，作者吴承恩是无论如何也不可能把这些形象描绘出来的。这说明学科网

A．文化是对神的描绘           B．文化是神的恩赐学科网

C．文化是社会实践的产物       D．文化是动物的反映学科网

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14、中央电视台的《百家讲坛》栏目，邀请当代中国文化名人担当“电视说书人”，把那些大众较难理解的古书典故讲解得深入浅出、通俗易懂，很受广大观众，出现了近年难得一见的“于丹现象”、“易中天现象”。这说明    学科网

①大众传媒的发展给文化传播带来了可喜的变化   ②只有不断创新，传统文化才能焕发生机和活力    ③传统文化的价值取决于大众传媒的发展         ④文化发展面向人民群众，才能为人民群众所喜闻乐见学科网

A、①②        B、③④      C、①②④      D、②③④学科网

15、春节是我国十几个民族共同的盛大节日，但各民族过春节的形式各有不同，如汉族在除夕夜要合家吃年夜饭，长辈给未成年的孩童“压岁钱”；布依族的除夕夜，全家人围坐在火塘旁，整夜守岁；藏族则在除夕之夜，举行盛大的“跳神会”，人们戴上假面具载歌载舞，以示除旧迎新，祛邪降福等等。这表明 学科网

①中华文化博大精深            ② 中华文化源远流长学科网

③ 我国民族文化的多样性       ④文化的丰富多彩反映了经济的繁荣学科网

A、①②        B、③④        C、①③        D、②③④学科网

16、回顾改革开放30年中国经济的发展历程，从“有水快流”到“又快又好”，到“又好又快”，到“好字优先”，到“保增长”，这一认识过程表明：学科网

A、先进的科学的社会意识对社会存在起推动作用 学科网

B、事物的变化发展是内因和外因共同作用的结果 学科网

C、想问题、办事情必须坚持一切从实际出发 学科网

D、我们党对社会主义现代化建设客观规律认识不断深化学科网

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2008年4月18日，连接环渤海地区和长江三角洲两大经济圈的京沪高速铁路宣告全线开工。回答17―18题。学科网

17．京沪高速铁路的建成，将使我国东部地区的交通运输体系更加完善，为广大旅客提供更加丰富的运输产品，从而满足不同层次旅客的出行需要，同时将极大地改变人们的时空观念，使铁路旅客运输发生革命性的变化。这表明学科网

①人们可以根据事物固有的联系建立新的具体的联系学科网

②社会存在决定社会意识，社会意识是社会存在的反映   学科网

③充分发挥主观能动性，可以认识和改造规律学科网

④发展的实质是事物状态和根本性质发生变化学科网

A．①②              B．③④           C．①③          D．②④学科网

18．京沪高速铁路项目总投资规模为2209亿元。除国家投入外，将通过银行贷款、发行企业债券和股票等多种方式募集资金。下列对债券和股票的认识，不正确的是学科网

①债券与股票相比，具有风险小、收益高的特点学科网

②债券是筹资者给投资者的债务凭证，反映债务关系    学科网

③股票是经济结算中常用的一种信用工具学科网

④股票价格与股息收入成正比，与银行利率成反比学科网

 A．①④          B．②③         C．①③        D．②④学科网

19．温家宝总理在回答中外记者提问时，引用“天变不足畏，祖宗不足法，人言不足恤”来强调解放思想的重要性。解放思想是学科网

  ①唯物主义的根本观点        ②一切从实际出发的要求学科网

  ③与实事求是相统一的        ④我们必须坚持的思想路线的内容之一学科网

A．②③       B．③④        C．①③④         D．②③④学科网

20．张景中院士在其著作《数学与哲学》中指出，哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但是它可以从事任何具体学科无法完成的工作，它为学科的诞生准备条件。上述材料说明（    ）学科网

A．具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动着哲学的发展   学科网

B．哲学是“科学之科学”学科网

C．哲学是人类对某一具体领域规律的概括和总结      学科网

D．哲学对具体科学研究起指导作用学科网

21．日趋严峻的金融危机给我国经济的发展带来了不少困难，但也给我国加快结构升级、引进国外先进技术和人才等带来了新的机遇。有专家感言。金融危机是“危”与“机”并存。下列与此包含相同哲理的是(    )学科网

    A．艰难困苦，玉汝于成                      B．千里之行，始于足下学科网

    C．福兮，祸之所伏；祸兮，福之所倚          D．前事不忘，后事之师学科网

22. 在高三复习阶段每天都有诸多的学习任务等待我们去完成，这常常让我们手忙脚乱。如果善于按照下图所示将我们的学习任务进行管理，并按一定的顺序完成任务，就会大大提高学习的效率。这种做法主要体现了学科网

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