1．复数z＝i+i²+i³+i⁴的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

　　 A．－1　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　 D．i

(17)本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力，满分12分。

解：设，则复数z的实部为．

∴　　

由题设

即　　　

∴　　　

整理得　 r²+2r－1＝0．

　　 解得

　　 即　

(18)本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．

(Ⅰ)解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角．

设F为AB中点，连结EF、FC，

∵ D、E分别是CC₁、A₁B的中点，又DC⊥平面ABC，

∴ CDEF为矩形．

连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，，

∵EF＝1，∴

于是

∵

∴

∴

∴ A₁B与平面ABD所成的角是

(Ⅱ)解法一：∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F．

∴ ED⊥面A₁AB，

又ED∈面AED，

∴ 平面AED⊥平面A₁AB，且面AED∩平面A₁AB＝AE．

作A₁k⊥AE，垂足为k，

∴ A₁k⊥平面AED．即A₁k是A₁到平面AED的距离．

在△A₁AB₁中，

∴ A₁到平面AED的距离为

解法二：连结A₁D，有

∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，

∴ ED⊥平面A₁AB．

设A₁到平面AED的距离为h．

则　

又　

∴　

即A₁到平面AED的距离为

(19)本小题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基础知识，考查分析和判断能力，满分12分．

解：函数y＝c^x在R上单调递减

不等式x+| x－2c | >1的解集为函数y＝x+| x－2c | 在R上恒大于1，

∵　　

∴ 函数y＝x+| x－2c | 在R上的最小值为2c．

∴ 不等式x+| x－2c | >1的解集为

如果P正确，且Q不正确，则

如果P不正确，且Q正确，则c≥1．

所以c的取值范围为

(20)本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力，满分12分．

解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60 (km)．

若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t+60．

由余弦定理知

由于　 PO＝300，PQ＝20t，

cos∠OPQ＝cos(θ－45°)　

　　　　 ＝cosθcos45°+sinθsin45°

故　

因此　 20²t²－9600t+300²≤(10t+60)²，

即　　　 t²－36t+288≤0，

解得　　　 12≤t≤24．

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．

解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向，

在时刻t(h)台风中心的坐标为

此时台风侵袭的区城是

其中r(t)＝10t+60．

若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

即　　

　　　　　　　 ≤(10t+60)²，

即　　　 r²－36t+288≤0，

　 　解得　　　　 12≤t≤24．

　　 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．

(21)本小题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分．

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．

按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)．

设

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2， 4a－4ak)．

直线OF的方程为：2ax+(2k－1)y＝0，　　　　　　　　　　　　 ①

直线GE的方程为：－a (2k－1) x+y－2a＝0．　　　　　　　　　 ②

从①、②消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程2a²x²+y²－2ay＝0．

整理得　　　　

当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．

当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．

当时，点P的椭圆两个焦点的距离之和为定值

当时，点P的椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．

(22)本小题主要考查数列，排列组合概念等知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分．

(Ⅰ)解：(i)第四行　　 17　 18　 20　 24

　　　　　　　 第五行　　 33　 34　 36　 40　 48

(ii)解法一：设，只须确定正整数t₀，s₀

数列{a_n}中小于的项构成的子集为

，

其元素个数为　　

依题意　　　

满足上式的最大整数t₀为14，所以取t₀＝14．

因为，由此解得s₀＝8．

∴ a ₁₀₀＝2¹⁴+2⁸＝16640．

解法二：n为a_n的下标．

三角形数表第一行第一个元下标为1．

　　 第二行第一个元下标为

　　　　　 ……

　　 第t行第一个元下标为第t行第s个元下标为该元等于2^t+2^t-1．

据此判断a₁₀₀所在的行．

因为，所以a₁₀₀是三角形表第14行的第9个元

　　　　 a₁₀₀＝2¹⁴+2^9-1＝16640．

(Ⅱ)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)

解：b_k＝1160＝2¹⁰+2⁷+2³．

令 M＝{c∈B | c <1160}　 (其中，B＝)．

因M＝{c∈B | c <2¹⁰}∪{c∈B | 2¹⁰ < c<2¹⁰+2⁷}

　　　　 ∪{c∈B | 2¹⁰+2⁷< c<2¹⁰+2⁷+2³}．

现在求M的元素个数：

　　　　 {c∈B | c <2¹⁰}＝，

其元素个数为;

　　　　 {c∈B | 2¹⁰ < c <2¹⁰+2⁷}＝{2¹⁰+2^s+2^r | 0≤r<s<7}

其元素个数为;

　　　　 {c∈B | 2¹⁰+2⁷ < c <2¹⁰+2⁷+2³ }＝{2¹⁰+2⁷+2^r | 0≤r<3}，

其元素个数为．

(13)　　　 (14)(－1，0)　　 (15)72　　　 (16)①④⑤

(1)D　　　 (2)C　　 (3)D　　　 (4)A　　　 (5)C　　　 (6)B

(7)C　　　 (8)D　　 (9)D　　　 (10)C　　 (11)B　　　 (12)A

(17)(本小题满分12分)

已知复数z的辐角为60°，且| z－1 |是| z |和| z－2 |的等比中项，求| z |．

(18)(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA₁＝2，D、E分别CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(Ⅰ)求A₁B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);

　 (Ⅱ)求点A₁到平面AED的距离．

(19)(本小题满分12分)

已知c>0，设

　　　　 P：函数y＝c^x在R上单调递减．

　　 Q：不等式x+| x－2c | > 1 的解集为R．

如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

(20)(本小题满分12分)

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

(21)(本小题满分14分)

已知常数a > 0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)．问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由．

(22)(本小题满分12分，附加题4分)

(Ⅰ)设{a_n}是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，……

将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;

(ii)求a₁₀₀．

(Ⅱ)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)

设{b_n}是集合中所有的数从小到大排列成的数列，已知b_k =1160，求k．

普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

(13)展开式中x⁹的系数是　　　　　　　　　 ．

(14)使log₂(－x)<x+1成立的x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　 ．

(15)如图,一个地区分为5个行政区域，现给地　　　　　　　　 图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　　　　　　　　　 种．(以数字作答)

(16)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是　　　　　　 ．(写出所有符合要求的图形序号)

(1)已知，则tg 2x＝

(A)　　　 (B)　　　 (C)　　　 (D)

(2)圆锥曲线的准线方程是

(A)　 (B)　 (C) (D)

(3)设函数 若f(x₀)>1，则x₀的取值范围是

(A)(－1，1) 　　　　　　　　　　　(B)(－1，+∞)

(C)(－∞，－2)∪(0，+∞)　　　 (D)(－∞，－1)∪(1，+∞)

(4)函数的最大值为

(A)　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)2

(5)已知圆及直线．当直线l被C截得的弦长为时，则a＝

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

(6)已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是

　　 (A)　 　　(B)　　　 (C)　　　 (D)

(7)已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则

　 (A)1　　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

(8)已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

　　 (A)　 (B)　 (C)　 (D)

(9)函数f (x)＝sinx，的反函数f^－1(x)＝

(A)－arcsinx，x∈[－1，1]　　　　　　 (B)―π―arcsinx，x∈[－1，1]

(C)π+arcsinx，x∈[－1，1]　　　　　 (D)π－arcsinx，x∈[－1，1]

(10)已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄(入射角等于反射角)．设P₄的坐标为(x₄，0)．若1< x₄<2，则tgθ的取值范围是

　　 (A)　　　 (B)　　　 (C)　　 (D)

(11)

(A)3　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　　 (D)6

(12)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

　　 (A)3π　　　　 (B)4π　　　　　 (C)　　　　 (D)6π

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

22、已知函数的定义域为，对任意，有恒等式；且当时，.

(1)求的值；

(2)求证：当时，恒有；

(3)求证：上为减函数；

[以下(4)小题选理科的学生做；选文科的学生不做]

(4)由上一小题知：上的减函数，因而的反函数存在，试根据已知恒等式猜想具有的性质，并给出证明.

在已知等式中含，得，----------理3分，文5分

取得

但，-------------------------------------------------理6分，文10分

设，并令，则

于是　　

在上为减函数----------------------------------------------------理12分，文18分

在的定义域内，恒有-----------理14分

证明如下：设，则

且由题意设

-------------------------------------------------理18分

21、已知抛物线(为实常数).

(1)求所有抛物线的公共点坐标；

(2)当实数取遍一切实数时，求抛物线的焦点方程.

[理](3)是否存在一条以轴为对称轴，且过点的开口向下的抛物线，使它与某个只有一个公共点？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

[文](3)是否存在直线(为实常数)，使它与所有的抛物线都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.

将抛物线的方程该写成，

所有的抛物线过完点，即是所有抛物线的公共点。-------------4分

，即

抛物线的顶点为，焦点坐标为

消去得焦点的轨迹方程：-----------------------------------------------------10分

[理] 以轴为对称轴，且过点的开口向的抛物线可写成　　 ------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

设他与抛物线只有一个公共点，则方程

即

有两个相等的实根，----14分

由故当时，存在一条以轴为对称轴且过点的开口向下的抛物线，与只有一个公共点------------------------------------------------16分

[文] 设与一切有公共点，则方程，

即有实根

对一切成立。--------------------------------------------------------------------------------------13分

从而

当时直线与一切都有公共点。---------------------------------------16分

20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与去年促销费(万元)()满足.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2006年该产品的利润万元表示为年促销费(万元)的函数；

(2)求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

每件产品的成本为元，故2006年的利润

-------------------------------------------4分

=(万元)，----------------------------------7分

----------------------------11分

等号当且仅当，即(万元)时成立。

故2006年该产品利润的最大枝为21万元，此时促销费为3万元。----------------------14分