3．如图，在不等边中，，，图中等于的角还有______________．

2．如图，已知直线，，则的度数是　　　　 ．

1. 如图，延长线段到，使，

若，则线段是的　　　 倍．

26、(08天津)已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．

(1)当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；

(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(08恩施)如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，

A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A

旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，

CD=n.

(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

(3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE.

(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

(08大庆)如图①，四边形和都是正方形，它们的边长分别为()，且点在上(以下问题的结果均可用的代数式表示)．

(1)求；

(2)把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；

(3)把正方形绕点旋转一周，在旋转的过程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

(08淄博)正方形ABCD的对角线交点为O，两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形。

(1)平行四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；

(2)四边形ABCD的两条对角线互相垂直，交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；

(3)四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；

(4)四边形ABCD的两条对角线相等，交点为O，∠BAC＝∠BDC,若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试只用S₁，S₃或只用S₂，S₄表示四边形ABCD的面积S.

(1)如图1，已知：直线，为直线上两点，为直线上两点，请写出图中，和面积之间的数量关系：　　　　 ；

(2)如图2，边长为6的正三角形，是边上一点，且，以为一边作正三角形，则的面积为　　　　 ；

(3)如图3，边长为6的正三角形，是边上一点，且，以为一边作正三角形，则的面积为　　　　 ；

(4)根据上述计算的结果，你发现了怎样的规律？提出自己的猜想并依据图4予以证明．

(5)如图5，有一块正三角形草皮，由于某种原因，需要将三角形草皮移植到三角形的草皮的右侧，成为一块新的三角形草皮(三点要在一条直线上)，并保持其面积不变，请你画图说明如何确定点的位置．

(1)如图12-1，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点．

①请你判断△ABC与△ABD的面积具有怎样的关系？

②若点D在直线m上可以任意移动，△ABD的面积是否发生变化？并说明你的理由．

(2)如图12-2，已知：在四边形ABCD中，连结AC，过点D作EF∥AC，P为EF上任意一点(与点D不重合)．请你说明四边形ABCD的面积与四边形ABCP的面积相等．

(3)如图12-3是一块五边形花坛的示意图．为了使其更规整一些，园林管理人员准备将其修整为四边形，根据花坛周边的情况，计划在BC的延长线上取一点F，沿EF取直，构成新的四边形ABFE，并使得四边形ABFE的面积与五边形ABCDE的面积相等．请你在图15-3中画出符合要求的四边形ABFE，并说明理由．

(09七中模拟)已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF.

(1)如图1，当点G与点D重合时，△BDF的面积为　　　　　　 。

(2)如图2，当点G是CD的中点时，△BDF的面积为　　　　　　 。

(3)如图3，当点G是CD边上的任意位置时，△BDF的面积为　　　　　　 。

解决问题：张三家有一块正方形的土地(如图4)由于修建高速公路被占去了一块三角形的地方BCP．现决定在DP的右侧补给张三一块土地，补偿后的土地为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来的正方形ABCD的面积相等，且M在BP的延长线上,请你在图中画出点M的位置，并简要说明理由。

在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况研究：

(1)三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图2加以证明.

(2)三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由.

(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

(08福州)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

(1)直接写出点E、F的坐标；

(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

(08潍坊)如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边的点上，折痕的一端点在边上，．

(1)当折痕的另一端在边上时，如图(1)，求的面积；

(2)当折痕的另一端在边上时，如图(2)，证明四边形为菱形，并求出折痕的长．

(07绍兴)课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：

如图1，己知四边形ABCD中，AC平分, , 与互补，求证：．

小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．

(1)特殊情况入手添加条件：“”, 如图2，可证．(请你完成此证明)

(2)解决原来问题受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．(请你补全证明)

(1)如图13①在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在BD上有一动点P，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，通过观察或测量，猜想OE、OF满足的数量关系，并证明你的猜想．

(2)若点P移动到BD的延长线上(如图13②)，其他条件不变，那么你在(1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．

(1)在图13-1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与M F满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；

(2)当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图13-2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；

(3)当三角尺在(2)的基础上沿BC方向继续向右平移到图13-3所示的位置(点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)

(08宁夏)如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．

(1)试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；

(2)当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；

(3)若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

(08兰州)如图15，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．

(1)证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；

(2)试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．

如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD

的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别

是h_m、h_n，四边形MBNH的面积是S；

(1)当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时(图1)，S= 　　， h_m+ h_n= 　　　　.

(2)若顶点H为OB的中点(图2)，则S=　　　 ， h_m+ h_n =　　　　 .　　

(以上两题只要求写出结果，不用证明)

(3)按要求利用图3完成下列问题：

我们准备探索：当BH=n时，S=　　　　　 ，h_m+ h_n =　　　　　 ；

①　　　　 在上面的横线上填上你的结论；

②　　　　 证明你得到的结论.

(08山东临沂)已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;

⑶在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝____AC;

②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝____AC(用含α的三角函数表示)，并给出证明。

(七中模拟)已知，∠POQ=60，点A在射线OP上，点B在射线OQ上。△ABC是等边三角形，点M是△ABC的外接圆的圆心。

(1)　　　 当OA=OB时，如图1，说明点M在∠POQ的角平分线上。

(2)　　　 当OA＜OB时，作ME⊥OP于点E，MF⊥OQ于点F，如图2.

①　　 求证：∠CBQ=∠OAB；

②　　 求证：△AEM≌△BFM；

③　　 求证：点M在∠POQ的平分线上。

(3)判断：当OA＞OB时，点M是否在∠POQ的角平分线上；答：　　　　 (填是 或 否 )

(4)综上所述，可得的结论　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(七中模拟)已知，将两块等腰直角三角板ABC和ADE如图放置，再以CE,CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH。

a)　　　　　　　　　 如图1，连接DH，请你判断△DHC的形状，猜想CH与CD之间有何数量关系？请说明理由。

b)　　　　　　　　　 将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2，请你猜想CH与CD之间的数量关系　　　　　　　 。

c)　　　　　　　　　 将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转a(0°＜a＜45°)得图3，(2)中的猜想是否还成立，若成立，请给出证明；不成立，说明理由。

(七中模拟)如图13-1，以△ABC的边AB，AC为直角边作等腰△ABE和△ACD，M是BC的中点．

(1)若∠BAC=90°，如图13-1．请你猜想线段DE，AM的数量关系，并证明你的结论；

(2)若∠BAC≠90°．

①如图13-2．请你猜想线段DE，AM的数量关系，并证明你的结论；

②如图13-3．请你判断线段DE，AM的数量关系．

(七中模拟)如图1，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S_△ABD= S_△ADC.

实践探究

(1)在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴和S_矩形ABCD之间满足的关系式为　　　　　　　　 ；

(2)在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴和

S_{平行四边形ABCD}之间满足的关系式为　　　　　　　　　 ；

(3)在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴和

S_{四边形ABCD}之间满足的关系式为　　　　　　　　　　 ；

解决问题：

(4)在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和是多少？即求S₁+ S₂+ S₃+ S₄=？

(七中模拟)(1)如果△ABC的面积是S,E是BC的中点,连结AE(图1),则△AEC的面积是　 .

(2)在△ABC的外部作△ACD,F是AD的中点,连结CF(图2),若四边形ABCD的面积是S,则四边形AECF的面积是　　　　 ;

(3)若任意四边形ABCD的面积是S,E、F分别是一组对边AB,CD的中点，连结AF,

CE(图3)，则四边形AECF的面积是　　　　 ;

拓展与应用

(1)若八边形ABCDEFGH的面积是100，K,M,N,O,P,Q分别是AB,BC,CD,EF,FG,GH的中点，连结KH,MG,NF,OD,PC,QB(图4)，则图中阴影部分的面积是　　　 ；

(2)四边形ABCD的面积是100，E,F分别是一组对边AB,CD上的点，且AE=AB,CF=CD,连结AF,CE(图5)则四边形AECF的面积是　　　　 ;

(3)_{平行四边形}ABCD的面积为2，AB=a，BC=b，点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动.点F从点B出发沿BC以每秒个单位的速度向点C运动.E、F分别从点A,B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请写出这个值　 ,并写出理由；若变化，说明是怎样变化的.

(桥西模拟)(1)如图1，P为⊙O内任意一点，连结OP，再过P作AB⊥OP交⊙O 于A、B两点，则可以得到弦AB被点P平分，理由是 　　　　　　　　　　　　　　　　　。

(2)探索：如图2，P为∠MON平分线上一点，请你作一条“弦”AB(即点A在OM上，点B在ON上)，使AB被点P平分。

(3)联想：结合小黑板老师给出的规律(如图3)探究如图4，P为∠MON内任一点，是否存在过点P的弦AB，使AB被点P平分？若存在，给出画图方案；若不存在，简要说明理由。

24、(芜湖08)如图，在梯形中，，，，于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高．

(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;

(2)设，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

25(08大连)．如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

⑴求证：ME = MF．

⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．

⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．

⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．

23、(08烟台市)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

(1)求证：△BDE≌△BCF；

(2)判断△BEF的形状，并说明理由；

(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

22、(08武汉)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．

⑴如图2，若点P在线段AO上(不与点A、O重合)，PE⊥PB且PE交CD于点E。

　①求证：DF＝EF；

　②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

⑵若点P在线段OC上(不与点O、C重合)，PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论(所写结论均不必证明)

21、(成都08)已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，E、F分别是AB和BC边上的点.

(1)如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD =4，BC=8，求梯形ABCD的面积的值；

(2)如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF(k为正数)，试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.

20、(恩施08)如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.

19、(盐城08)如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

(1)如果AB=AC，∠BAC=90º．

①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为　 　　　　，数量关系为　 　　　　．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC(点C、F重合除外)？画出相应图形，并说明理由．(画图不写作法)

(3)若AC＝，BC=3，在(2)的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．