5、猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5(山东青岛)四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.

(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图7)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.

已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点(如图7)；

求证：S_△OBC·S_△OAD=S_△OAB·S△_OCD.

图7

　(2)在三角形中(如图8)，你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.

图8

分析：(1)分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，

则有：S_△AOBBO·AE

　 S_△CODDO·CF

　 S_△AODDO·AE

　 S_△BOCBO·CF

∴S_△AOB ·S_△CODBO·DO·AE·CF

　 S_△AOD·S_△BOC BO·DO·CF·AE

∴S_△AOB ·S_△COD ＝S_△AOD·S_△BOC.

(2)根据“乘除乘方不改变”能猜想到：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等. 或S_△AOD·S_△BOC＝S_△AOB ·S_△DOC　

已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点

求证：S_△AOD·S_△BOC＝S_△AOB ·S_△DOC

证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，

则有：S_△AODDO·AE，S_△BOCBO·CF

　　　 S_△OABOB·AE，S_△DOCOD·CF

　　 ∴S_△AOD·S_△BOC OB·OD·AE·CF

　　　 S_△OAB ·S_△DOCBO·OD·AE·CF

　　 ∴S_△AOD·S_△BOC＝S_△OAB ·S_△DOC

4、猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例4(江苏连云港)(1)如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

图5

①当时，有；

②当时，有；

③当时，有．

当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；

(2)现有一块直角梯形田地(如图6所示)，其中AB∥CD，，310米，170米，70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想--证明--应用”的思路设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值。

(1)仿照例1、例2的解题思路，不难猜想出关系式：EF =．

　证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，∴∽，∴，

又////，∴，

∵，，

∴，可得．

(2)在上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，设，

则EF=，，

若，则，

∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，

∴，

化简得解得：，(舍去)，

∴，

所以只需在AD上取点E，使米，作EF∥AB(或)，

即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．　

2、猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2(河北课改实验区)观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

图2

(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

(2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.

分析：(1)本题图形中所反映出来的数字关系已经列出三个，下面就以它们为例，填写后两个。易得④1+3+5+7=4²；⑤1+3+5+7+9=5².

(2)仿照例1的思路可以猜想：1+3+5+…+(2n-1)=n² .

1、猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1(云南)观察按下列顺序排列的等式：

；

；

；

；

；

　……

猜想：第个等式(为正整数)用表示，可以表示成________________.

分析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为

9 × 一个数 + 另一个数 = 结果

其中，“另一个数”就是等式的序号n；“一个数”比它小1，即为n-1；结果的个位为1，个位以前的数字等于“一个数”n-1，所以结果表示为10(n-1)+1. 因此，这个等式为

9(n-1) + n = 10(n-1) + 1.

这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证。

等式的左边 = 9n - 9 + n = 10n – 9；等式的右边 = 10n – 10 + 1 = 10n – 9 .

所以，等式的左边 = 等式的右边。

说明所列等式成立。

猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊--一般--特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

如图1所示：

图1

能够根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

2、如图6，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C(0，)在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB=3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

图6

求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.

在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

1、如图5-1，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是(0，2)，一次函数的图象随的不同取值变化时，位于的右下方由和正方形的边围成的图形面积为(阴影部分).

⑴当何值时，=3？

⑵在平面直角坐标系下(图5-2)，画出与的函数图象.

图5-1　　　　　　 图5-2