12．(14分)(2009·肇庆模拟)设函数f(x)＝cos ωx(sin ωx+cos ωx)，其中0<ω<2.

(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值．

解　f(x)＝sin 2ωx+cos 2ωx+

＝sin+.

(1)因为T＝π，所以ω＝1.

∴f(x)＝sin+，

当－≤x≤时，2x+∈，

所以f(x)的值域为.

(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝，

所以2ω+＝kπ+(k∈Z)，

ω＝k+ (k∈Z)，

又0<ω<2，所以－<k<1，又k∈Z，

所以k＝0，ω＝.

§4.4　 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

11．(13分)(2008·天津文，17)已知函数f(x)＝2cos²ωx+2sin ωxcos ωx+1 (x∈R，ω>0)的最小

正周期是.

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

解　(1)f(x)＝2+sin 2ωx+1

＝sin 2ωx+cos 2ωx+2

＝+2

＝sin+2.

由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝，

所以ω＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝sin+2.

当4x+＝+2kπ，即x＝+(k∈Z)时，

sin取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是

2+，此时x的集合为.

10．(13分)(2010·怀化模拟)设函数f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是

直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

解　(1)令2×+φ＝kπ+，k∈Z，

∴φ＝kπ+，又－π<φ<0，则－<k<－，

∴k＝－1，则φ＝－.

(2)由(1)得：f(x)＝sin，

令－+2kπ≤2x－≤+2kπ，

可解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.

9．(2010·绍兴月考)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：

①由f(x₁)＝f(x₂)＝0可得x₁－x₂必是π的整数倍；

②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；

③y＝f(x)的图象关于点对称；

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．

其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)

解析　函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．

利用诱导公式得f(x)＝4cos

＝4cos＝4cos，知②正确．

由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝

4sin＝4sin 0＝0，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．

曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点

不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．

答案　②③

8．(2008·辽宁理，16)已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最

小值，无最大值，则ω＝________.

解析　如图所示，

且，

又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，

∴f(x)在x=处取得最小值．

∴(k∈Z)．

∴ω=8k- (k∈Z)．

∵ω>0，∴当k=1时，ω=8-

当k=2时，ω=16，此时在区间内存在最大值．故ω=.

答案　

7．(2010·株州调研)函数y＝lg(sin x)+的定义域为________________，函数y＝

sin的单调递增区间为______________．

解析　①要使函数有意义必须有，

即，解得(k∈Z)，

∴2kπ<x≤+2kπ，k∈Z，

∴函数的定义域为.

②由y＝sin得y＝－sin，

由+2kπ≤x－≤π+2kπ，

得π+3kπ≤x≤+3kπ，k∈Z，

故函数的单调递增区间为

(k∈Z)．

答案　 (k∈Z)

(k∈Z)

6．(2009·巢湖期末)给出下列命题：

①函数y＝cos是奇函数；

②存在实数α，使得sin α+cos α＝；

③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；

④x＝是函数y＝sin的一条对称轴方程；

⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形．

其中正确的序号为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．①③　 　　　　　　　 B．②④　 　　　　　　　　　 C．①④ 　　　　　　　　　　 　D．④⑤

解析　①y＝cos⇒y＝－sinx是奇函数；

②由sin α+cos α＝sin的最大值为，

因为<，所以不存在实数α，使得sin α+cos α＝；

③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°+360°，

但tan 45°>tan(30°+360°)，即tan α<tan β不成立；

④把x＝代入y＝sin＝sin＝－1，所以x＝是函数y＝sin的一条对称轴；

⑤把x＝代入y＝sin＝sin＝1，

所以点不是函数y＝sin的对称中心．

综上所述，只有①④正确．

答案　C

5．(2009·浙江理，8)已知a是实数，则函数f(x)＝1+asin ax的图象不可能是　　　　　 `(　)

解析　图A中函数的最大值小于2，故0<a<1，而其周期大于2π.故A中图象可以是函数f(x)的图象．图B中，函数的最大值大于2，故a应大于1，其周期小于2π，故B中图象可以是函数f(x)的图象．当a=0时，f(x)=1，此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D中图象不可能为函数f(x)的图象．

答案　D

4．(2010·嘉兴模拟)已知在函数f(x)＝sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点

恰好在x²+y²＝R²上，则f(x)的最小正周期为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　　 B．2 　　　　　　　　　　　　 C．3　 　　　　　　　　 D．4

解析　∵x²+y²＝R²，∴x∈[－R，R]．

∵函数f(x)的最小正周期为2R，

∴最大值点为，

相邻的最小值点为，

代入圆方程，得R＝2，∴T＝4.

答案　D

3．(2010·枣庄调研)已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最

小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．6　 　　　　　　　　　　　　　 B．7 　　　　　　　　　　　　 C．8　 　　　　　　　　 D．9

解析　T=6，则≤t，

∴t≥，

∴tmin=8.

答案　C