81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)，① a∥b，② a∥，③ b∥．其中，a，b在面外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．

解析：Ⅰ： a∥b

　　　　 a∥　 b∥

　　 b在外

Ⅱ：a∥b

　　 b∥　 a∥

　 a在外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．

证明：过a作平面与交于

∵ a∥

∵ a∥

而a∥b

∴ b∥且b在外，在内

∴ b∥．

Ⅲ：a∥

　　　　　　 a∥b

　　 b∥

命题：平行于同一个平面的两条直线平行，

这是错的，如右图

110. 已知：AB与CD为异面直线，AC＝BC，AD＝BD．

求证：AB⊥CD．

说明：(1)应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路．

(2)思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键．

(3)教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法．

证明：如图，取AB中点E，连结CE、DE

∵AC＝BC，E为AB中点．

∴CE⊥AB

同理DE⊥AB，又CE∩DE＝E，

且CE平面CDE，DE平面CDE．

∴AB⊥平面CDE

又CD平面CDE

∴AB⊥CD．

109. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．

解析：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．

BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--4分

∵ BD⊥AC，

∴ EF⊥HC．

∵ GC⊥平面ABCD，

∴ EF⊥GC，

∴ EF⊥平面HCG．

∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．　　　　　　　　 --6分

作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --8分

∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，

∴ AC=4，HO=，HC=3．

∴ 在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴ OK=．

即点B到平面EFG的距离为．　　　　 　　　　　　　　　　　　　--10分

注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．

108. 已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．

分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．

证明：假设H是△SBC的垂心，连结BH，并延长交SC于D点，则BH⊥SC

∵ AH⊥平面SBC，

∴ BH是AB在平面SBC内的射影

∴ SC⊥AB(三垂线定理)

又∵ SA⊥底面ABC，AC是SC在面内的射影

∴ AB⊥AC(三垂线定理的逆定理)

∴ △ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立．

故H不可能是△SBC的垂心．

107. 已知各棱长均为a的正四面体ABCD，E是AD边的中点，连结CE．求CE与底面BCD所成角的正弦值．

解析：作AH⊥底面BCD，垂足H是正△BCD中心，

连DH延长交BC于F，则平面AHD⊥平面BCD，

作EO⊥HD于O，连结EC，

则∠ECO是EC与底面BCD所成的角

则EO⊥底面BCD．

，

∴

106. 已知异面直线l₁和l₂，l₁⊥l₂，MN是l₁和l₂的公垂线，MN = 4，A∈l₁，B∈l₂，AM = BN = 2，O是MN中点．① 求l₁与OB的成角．②求A点到OB距离．

分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了．

解析：(1)如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中．

OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂线定理，OB⊥CD，又CD∥MA，

∴ OB⊥MA 即OB与l₁成90°

(2)连结BO并延长交上底面于E点．

∴ ME = 2，又 ON = 2

∴ ．

作AQ⊥BE，连结MQ．

对于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQ⊥EO．

在Rt△MEO中，．

评述：又在Rt△AMQ中，，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的．

105. 将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上．

求证：

分析：欲证，只须证与所在平面垂直；而要证⊥平面，只须证⊥且⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．

证明：由题意，⊥，又斜线在平面ABCD上的射影是BA，

∵ BA⊥AD，由三垂线定理，得，．

∴ ⊥平面，而平面

∴ ⊥

104. P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影．

(1)若PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心．

(2)若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．

(3)若PA 、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心．

(4)若△ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O是△ABC的____________心．

(5)若△ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心．

(6)若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心；

解析：(1)外心．∵　 PA=PB=PC，∴　 OA=OB=OC，∴　 O是△ABC的外心．

　(2)内心(或旁心)．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵　 PO⊥平面ABC，∴ 　OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴　 O是△ABC的内心．(如图答9-23)

(3)垂心．

(4)外心．(5)外心　

(6)外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴　 △PAO≌△PBO≌△PCO，∴　 OA=OB=OC，∴　 O为△ABC的外心．

(此外心又在等腰三角形的底边高线上)．

103. 已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．

求证：l⊥α

证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，

∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，

∴ △POA≌△POB≌△POC

∴ PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB，

∵

∴ AB⊥平面POD

∵ PO平面POD．

∴ PO⊥AB．

同理可证　 PO⊥BC

∵ ，，

∴ PO⊥α，即l⊥α

若l不经过O时，可经过O作∥l．用上述方法证明⊥α，

∴ l⊥α．

证法二：采用反证法

假设l不和α垂直，则l和α斜交于O．

同证法一，得到PA = PB = PC．

过P作于，则，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的．

∴ 假设l不和α垂直是不成立的．

∴ l⊥α

若l不经过O点时，过O作∥l，用上述同样的方法可证⊥α，

∴ l⊥α

评述：(1)证明线面垂直时，一般都采用直接证法(如证法一)，有时也采用反证法(如证法二)或同一法．

2、由于CD^平面, 把DE转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE在平面内的射影长。

解: 连AC, BC, 过D作DE^AB, 连CE, 则DE为D到直线AB的距离。

　　　 ∵CD^

　　　 ∴AC, BC分别是AD, BD在内的射影。

　　　 ∴ÐDAC, ÐDBC分别是AD和BD与平面所成的角

　　　 ∴ÐDAC = 30°, ÐDBC = 45°　

　　　 在Rt△ACD中,

　　　 ∵CD = h, ÐDAC = 30°

　　　 ∴AC =

　　　 在Rt△BCD中

　　　 ∵CD = h, ÐDBC = 45°　　　　　　　　　　　　　　

　　　 ∴BC = h

　　　 ∵CD^, DE^AB

　　　 ∴CE^AB

　　　 在Rt△ACB中

　　　 ∴

　　　 ∴在Rt△DCE中,

　　　 ∴点D到直线AB的距离为。