240. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、L、M、N分别是A₁D₁、A₁B₁、BC、CD、DA、DE、CL的中点，(1)求证：EFGF；(2)求证：MN//平面EFGH；(3)若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。

解：(1)证：取B₁C₁中点Q，则GQ面A₁B₁C₁D₁，且EFFQ，由三垂线定理得EFGF；

(2)在三角形DEG中，MN//EG，由此可证MN//平面EFGH；

(3)设所求距离为h，由V_E-NGH=V_N-HEG，得，又，，EL=2，故。

239.已知：如图，ABCD是边长为2的正方形，

PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。

求：点B到平面PEF的距离。

解析：由BD∥EF可证DB∥平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。

方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG，

作OH⊥PG，H为垂足。

∵E、F是AB、AD中点，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF，

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，

∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG，

∵EFÌ面PEF，∴面PEF⊥面PCG，

∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。

由ABCD边长为2，∴AC=2，GO=，GC=，

∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC，

∴△OHG∽△PCG，∴,

由PC=2，PG=

∴OH==

即点B到平面PEF的距离为。

方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d，

由V_P-BEF=S_△BEF·PC

=××BE×AF×PC

=×1×1×2=

连AC交EF于G,连PG,由方法一知

PG=,EF=,S_△PEF=××=

∴V_B-PEF=·S_△PEF·d=V_P-BEF=,

∴d=1 d=

即点B到平面PEF的距离为。

238. 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2，3，6。

求：P、Q两点间的距离。

解析：如图，作QE⊥面PAB，

QM⊥面PBC，QH⊥面PAC，E、M、N为垂足。

由PA、PB、PC两两垂直，所以PC⊥面PAB，PB⊥面PAC，

PA⊥面PBC，可得三个侧面两两垂直。

设平面QEM与PB交于F，平面QEH与PA交于G，平面MQH与PC交于N，连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM，可证明QMNH-EFPG是长方体。

∴PQ===7。

237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于　　　　　　　(　) A. 27　　 B. 21　　　 C. 18　　 D.9

解析：A

如果将正方体各个面延展，可视为将空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共93=27个部分。

236. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁中点，O为底面ABCD中心， 求证：B₁O⊥平面PAC。

证明：如图：连结AB₁，CB₁，设AB＝1 ∵AB₁＝CB₁＝，AO＝CO，∴B₁O⊥AC， 连结PB₁，∵ ∴ ∴B₁O⊥PO， ∴B₁O⊥平面PAC。

233. 如图：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

8 解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD 可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共8个。 234. 如图：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD 求证：BD⊥AC 证明：设BD的中点为K，连结AK、CK， ∵AB＝AD，K为BD中点 ∴AK⊥BD 同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K ∴BD⊥平面AKC ∴BD垂直于平面AKC内的所有直线 235. 如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。 求证：H是ABC的垂心。 　

　证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC， ∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC ∴BC⊥PH ∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH ∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB， 因此H是△ABC的垂心。

232.如图：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径， C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E　， 求证：AE⊥平面PBC。 　证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE ∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。

231.如图2－35：在空间四边形ABCD中，已知BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。

解析： 要证AH⊥平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。

证明:取AB中点F，连结CF、DF， ∵AC＝BC，∴CF⊥AB， 又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF， 又CD平面CDF，∴CD⊥AB 又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，CD⊥AH 又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD。

点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面α内的任何直线，则a⊥α，反之，若a⊥α，则a垂直于平面α内的任何直线。

250.　 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　 )

A.平行　　　　 B.异面　　　　 C.平行或异面　　　　 D.相交或异面

解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.

解法一：设两条异面直线分别为l₁，l₂，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图1，也可能异面，如图2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面α，两条平行线与两条异面直线l₁与l₂的四个交点均在α内，则两异面直线l₁与l₂也在α内，这是不可能的.∴应选D.

解法二：利用排除法，容易发现，分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于这点可以排除选择选A、B、C.故选D.

249. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(　　 )

A.12对　　　　 B.24对 　　　　 C.36对　　　　　 D.48对

解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力.

解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧棱，可以且只有与4条底面上的棱组成4对异面直线，又由共6条侧棱，所以异面直线共6×4＝24对.

解法二：六棱锥的棱所在12条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6条，侧棱所在直线也有6条，各取一条配成一对，共6×6＝36对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的6条直线有公共点的都是2条，所以，在36对中不成异面直线的共有6×2＝12对.所以，六棱锥棱所在的12条直线中，异面直线共有36-12＝24对.