275. 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥β.

证明　 过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.

设相交直线a′、b确定一个平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.

在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α

272. 设两个平面互相垂直，则(　)．

　A．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面

　B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上

　C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面

　D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直

解析：B．如图答9-38，在正方体中，平面⊥平面ABCD，其中平面，但不垂直平面ABCD，故A不正确．点D在交线AD上，，但不垂直平面ABCD，故C不正确．平面，AC平面ABCD，但与AC不垂直，故D不正确． 273. 如图9-43，∠AOB是二面角a -CD-b 的平面角，AE是△AOB的OB边上的高，回答下列问题，并说明理由：

　(1)CD与平面AOB垂直吗?

　(2)平面AOB与a 、b 垂直吗?

　(3)AE与平面b 垂直吗?

解析：(1)∵　∠AOB是二面角a -CD-b 的平面角，∴　OB⊥CD，OA⊥CD，∴　CD⊥平面AOB．

　　(2)∵　CD⊥平面AOB，CDa ，∴　a ⊥平面AOB．同理b ⊥平面AOB．

　　(3)∵　CD⊥平面AOB，∵　AE平面AOB，∴　CO⊥AE，又∵　AE⊥OB，CD∩OB=O，∴　AE⊥平面BCD，即AE⊥b ． 274. 如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的两个面．求证：BD⊥CD，∠BAC=60°．

图9-44

解析：∵　AD是等腰△ABC底边BC上的高线，∴　AD⊥BD，AD⊥DC，∴　∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，∵　平面ABD⊥平面ACD，∴　∠BDC=90°，即BD⊥DC．连结BC，设AD=a，则BD=DC=AD=a，，，，∴　△ABC是正三角形，∴　∠BAC=60°

271. 下列命题中正确的是(　)．

　A．平面a 和b 分别过两条互相垂直的直线，则a ⊥b

　B．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条平行直线，则a ⊥b

　C．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条相交直线，则a ⊥b

　D．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的无数条直线，则a ⊥b

解析：C．a 内的直线l垂直b 内的相交直线a、b，则l⊥b ．∵　la ，∴　a ⊥b ．

290. 给出以下命题：

　①平行于同一条直线的两条直线平行；

　②垂直于同一条直线的两条直线平行；

　③平行于同一个平面的两条直线平行；

　④垂直于同一个平面的两条直线平行；

　⑤平行于同一条直线的两个平面平行；

　⑥垂直于同一条直线的两个平面平行；

　⑦平行于同一个平面的两个平面平行．

　其中正确的命题是________(把你认为正确的命题的序号都写上)．

解析：①、④、⑥、⑦．由公理4知①正确．由直线与平面垂直的性质定理知④正确．由两个平面平行判定定理可以推导出⑥、⑦正确．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交．

289. ．B．A不正确是因为直线b可以在平面a 内，也可能与a 平行，还可能与a 相交但不成直角，C中的直线b只与b 内的直线a垂直，不能得出垂直b 的结论．D中a 、b 可能相交，a 内的两条直线均与交线平行

288. 已知直线a平面a ，直线b平面b ，a b，a∥b ，b∥a ．求证：a ∥b ．

解析：如图答9-29，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面g 与平面b 交于直线c，则c与b相交于点P．

图答9-29

287. ．三个不同平面a ，b ，g 满足a ∥b ，b ∩g =l，则a 与g 的位置关系是________；若三个平面满足a ∥b ，b ∥g ，则a 与g 的位置关系是________．

解析：相交；平行．作直线l⊥b ，∵　a ∥b ，∴　l⊥a ，∵　b ∥g ，∴　l⊥g ．∴　a ∥g ．当a ∥b ，b ∩g =l，假设a 与g 不相交，则a ∥g ，∵　a ∥b ，由前面证明可知b ∥g ，这与b 、g 相交矛盾．∴　a 与g 相交．

286. 夹在两平行平面a 、b 间的线段AB=8，AB与a 所成的角为45°，那么a 、b 间的距离等于________．

解析：．如图答9-27，过A作AH⊥a ，交a 于H，AH为平面a 与b 间的距离．连结BH，则BH是AB在平面a 内的射影，∴　∠ABH=45°．∵　AB=8，∴　

285. 若a∥b，a⊥a ，b⊥b ，则a 、b 这两个平面的位置关系是________．

解析：^平行．

284. 下列命题中，不正确的是(　)．

　A．一直线和两个平面a 、b 所成的角相等，那么a ∥b

　B．平面a ∥平面b ，则a 内的任意直线平行于平面b

　C．一个三角形有两条边所在直线平行一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行

　D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

解析：A．直线与两平面所成的角相等，这两个平面可能相交，故A命题不正确．三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行，所以C命题正确，分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点，它们的位置关系是平行或异面．