1．设集合，则(　 )

　 A．{2，3}　　　　　 B．{1，4，5}　　　　　　 C．{4，5}　　　　　 D．{1，5}

21．(本小题满分14分)

(本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)

(1)解：当时，有，

由于，所以．

当时，有，即，

将代入上式，由于，所以．

(2)解：由，

得，　　　　　　　　　　　　　 　①

则有．　　　　　　　 ②

②－①，得，

由于，所以．　　　　　　　　 ③

同样有，　　　　　　　　　　　 ④

③－④，得．

所以．

由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

(3)证明1：由于，

，

所以．

即．

令，则有．

即，

即

故．

证明2：要证，

只需证，

只需证，

只需证．

由于

．

因此原不等式成立．

20．(本小题满分14分)

(本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)

(1)解：设，则，

∵，

∴．

即，即，

所以动点的轨迹的方程．

(2)解：设圆的圆心坐标为，则．　　　　　 ①

圆的半径为．

圆的方程为．

令，则，

整理得，．　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①、②解得，．

不妨设，，

∴，．

∴

　　　　 ，　　　　　　　　　　 ③

　当时，由③得，．

当且仅当时，等号成立．

当时，由③得，．

故当时，的最大值为．

19．(本小题满分14分)

(本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)

(1)解：∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数取得最小值．

③若，则，函数在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值．

综上可知，当时，函数在区间上无最小值；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为．

(2)解：∵，，

∴

．

由(1)可知，当时，．

此时在区间上的最小值为，即．

当，，，

∴．

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．

故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．

18．(本小题满分14分)

(本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1)证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

(2)解法1：∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，

∴．

在△中，，

∴．

故二面角的平面角的正切值为．

解法2：∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

∵，

∴．

∴．

故二面角的平面角的正切值为．

17．(本小题满分12分)

(本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)

解：设表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．

则的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．

依题意得

，

，

则的分布列为

奖金	1000	800	600	500	400	300	0
概率

所以所求期望值为

元．

答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元．

16．(本小题满分12分)

(本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力)

(1)解：∵，

∴函数的最小正周期为．

(2)解：∵函数，

又的图像的对称轴为()，

令，

将代入，得()．

∵，∴．

14．　　 　　15．3

9．7　　　　 　　10．　 　　　　11．　　 　　　12．　　　　　 　13．①②③

21．(本小题满分14分)

设数列的前项和为，且对任意的，都有，．

(1)求，的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)证明：．

广州市东风中学2010-2011年度高三综合训练(4)

理科数学