∴，，∴双曲线方程为.

解  以F₁F₂的中点为原点，F₁、F₂所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F₂（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，

48、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F₁、F₂，直线过F₂且与直线F₁F₂的夹角为，且，与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

由此可得　，……………………………………………………………………④

∴ +,

又 |MF| =, |NF| =, 而；

设M(x₁, y₁), N(x₂, y₂),  则有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且．

由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．

(2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)² + y² = (4- k)² ;