15.[2009年上海市普通高等学校春季招生考试20.]设函数，其中为正整数.

(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；

(2)证明：；

(3)对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.

[解析](1)在上均为单调递增的函数.　　　　　　　 …… 2分

　 对于函数，设 ，则

　 ，

　 ，

　 函数在上单调递增.　　　　　　　 …… 4分

(2) 原式左边

　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 6分

　　 又原式右边.　　　　　　　　　　 　　

　　 　.　　　　　　　 …… 8分

(3)当时，函数在上单调递增，

　　 　的最大值为，最小值为.

　　 当时，， 函数的最大、最小值均为1.

　　 当时，函数在上为单调递增.

　　 　的最大值为，最小值为.

　　 当时，函数在上单调递减，

　　 　的最大值为，最小值为.　　　　　　　　　 …… 11分

　　 下面讨论正整数的情形：

　　 当为奇数时，对任意且

　　 　，

　　 以及 ，

　　 　，从而 .

　　 　在上为单调递增，则

　　 的最大值为，最小值为.　　　　　　　　　　 …… 14分

　　 当为偶数时，一方面有 .

　　 另一方面，由于对任意正整数，有

　　 ，

　　 .

　函数的最大值为，最小值为.　　　

　　 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.

　　　　　　　 当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 18分

12.[安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考(理)22](本小题14分)设函数

(Ⅰ)求的单调区间；

(Ⅱ)当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；

(Ⅲ)证明：当m>n>0时，。

[解析]：22、(Ⅰ)

①时，　 ∴在(-1，+)上市增函数

②当时，在上递增，在单调递减

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减

又　　　　　 ∴

∴当时，方程有两解

(Ⅲ)要证：只需证

只需证

设，　　 则

由(Ⅰ)知在单调递减

∴，即是减函数，而m>n

∴，故原不等式成立。

10.[东北育才学校2009届高三第三次模拟考试(理)24.]如右图(1)所示，定义在区间上的函数，如果满足：对，常数A，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界. (提示：图(1)、(2)中的常数、可以是正数，也可以是负数或零)

(Ⅰ)试判断函数在上是否有下界？并说明理由；

(Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间上有上界.

请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断(Ⅰ)中的函数在上是否有上界？并说明理由；　　　　　　　　　　

(Ⅲ)若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数 (是常数)是否是(、是常数)上的有界函数？

[解析]：24．(I)解法1：∵，由得，

　　　 ∵，　　　 ∴，-----------------2分

∵当时，，∴函数在(0，2)上是减函数；

当时，，∴函数在(2，+)上是增函数；

∴是函数的在区间(0，+)上的最小值点，

∴对，都有，------------------------------------4分

即在区间(0，+)上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在(0，+)上有下界. ---------------------5分　　

[解法2：

当且仅当即时“＝”成立

∴对，都有，

即在区间(0，+)上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在(0，+)上有下界.]

(II)类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：

定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. -----7分

设则，由(1)知，对，都有，

∴，∵函数为奇函数，∴

∴，∴

即存在常数B=－32，对，都有,

∴函数在(－， 0)上有上界. ---------9分

(III)∵，

由得，∵

∴　　 ∵ ，　 ∴，----------10分

∵当时，，∴函数在(0，)上是减函数；

当时，，∴函数在(，+)上是增函数；

∴是函数的在区间(0，+)上的最小值点，

　---------------------11分

①当时，函数在上是增函数；

∴

∵、是常数，∴、都是常数

令,

∴对，常数A,B,都有

即函数在上既有上界又有下界-------------------------12分

②当 　时函数在上是减函数

∴对都有

∴函数在上有界.-------------------------13分

③当时，函数在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者

则对，常数A,B,都有

∴函数在上有界.

综上可知函数是上的有界函数--------------14分

9.[东北育才学校2009届高三第三次模拟考试(文)22.] (本小题满分14分)设等比数列{}的前项和，首项，公比.

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若数列{}满足，，求数列{}的通项公式；

(Ⅲ)若，记，数列{}的前项和为，求证：当时，.

[解析]：(Ⅰ) ……2分

而　　　　　　　　 ……………………………………………3分

所以　　　　　　　　　　　　　 …………………………………………4分

(Ⅱ),,　　　　　 ……………………………6分

是首项为,公差为1的等差数列,

,即.　　　　　　　　　　 ………………………………8分

(Ⅲ) 时, , 　　　…………………………9分

相减得

,　　　　　　　　　　　　　 …………………………12分

又因为,单调递增,

故当时, .　　　　　　 ……………………………………………………14分

7.[河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测(一)22．](本题满分12分)[理科]已知函数

　 (I)求的极值；

　 (II)若的取值范围；

　 (III)已知

[解析]：(Ⅰ)令得 ……………2分

当为增函数；

当为减函数，

可知有极大值为…………………………..4分

(Ⅱ)欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

设

由(Ⅰ)知，，

……………………8分

(Ⅲ)，由上可知在上单调递增，

　 ①，

　同理　 ②…………………………..10分

两式相加得

　　 ……………………………………12分

6.[河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试(理)22.](本小题满分12分)

已知数列满足

(1)求；

(2)已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；

(3)记，数列的前项和为，求证：.

_[解析]：22．解：(1)，由数列的递推公式得

，，.……………………………………………………3分

(2)

=

==.……………………5分

数列为公差是的等差数列.

由题意，令，得.……………………7分

(3)由(2)知，

所以.……………………8分

此时=

=，……………………10分

　=

>.……………………12分

4. [湖北省2009届高三八校联考第二次(理)21.](本小题满分14分)已知数列中，，，其前项和满足.令.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，求证：()；

(Ⅲ)令()，求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，.

[解](Ⅰ)由题意知即……1′

∴

……2′

检验知、时，结论也成立，故.…………3′

(Ⅱ)由于

故

.…………6′

(Ⅲ)(ⅰ)当时，由(Ⅱ)知：，即条件①满足；又，

∴.

取等于不超过的最大整数，则当时，.…9′

(ⅱ)当时，∵，，∴，∴.

∴.

由(ⅰ)知存在，当时，，

故存在，当时，，不满足条件. …12′

(ⅲ)当时，∵，，∴，∴.

∴.

取，若存在，当时，，则.

∴矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.

综上所述：只有时满足条件，故.…………14′

2.[江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷](本小题满分16分)函数其中为常数，且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行

(1)、求函数的解析式

(2)、若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

[解析]：(1)　　　 　　　　------2

的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为

由题意得即，　　　　　 ------3

又　 　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 ------4

(2)由题意

当时，-------6

令

　　　　　　 　　　　------7

令　 ------9

当时，

单调递增。　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 ------10

由在上恒成立，　　　

得　　　　　　　　　　　　　　　 ------12

当时，　 ------13

可得

单调递增。------14

由在上恒成立，得　 ------15

综上，可知　　　　　　　　　　　　　　　　 ------16

22. (14分)某无色溶液X，由Na⁺、Ag⁺、Ba²⁺、Al³⁺、Fe³⁺、AlO₂^-、CO₃^2-、SO₄^2-中的若干种离子组成，取该溶液进行如下实验：

(1)气体A的成分是　　　　　 (填化学式，下同)，气体B的成分是　 　　　　。

(2)写出步骤①发生反应的所有离子方程式　　　　　　　　　　　　 。

(3)写出步骤②形成白色沉淀甲的离子方程式　　　　　　　　　　　 。

(4)通过上述实验，可确定X溶液中一定存在的离子是　　　　　　　　　　 ，

尚未确定是否存在的离子是　　　　　 ，只要设计一个简单的后续实验就可以确

定该离子是否存在，该方法是　　　　　　　　　　　　 。

21. (12分)硫酸亚铁晶体(FeSO₄·7H₂O)在医药上作补血剂。某课外小组测定该补血剂中铁元素的含量。实验步骤如下：

请回答下列问题：

　 (1)步骤②加入过量H₂O₂的目的：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 (2)步骤③中反应的离子方程式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 (3)步骤④中一系列处理的操作步骤：过滤、　　　　　 、灼烧、　　　　　 、称量。

　 (4)若实验无损耗，则每片补血剂含铁元素的质量　　　　　 g(用含a的代数式表示)。

　 (5)该小组有些同学认为用KMnO₄溶液滴定也能进行铁元素含量的测定。

(5Fe²⁺+MnO₄^-+8H⁺ ＝ 5Fe³⁺+Mn²⁺+4H₂O)

①实验前，首先要精确配制一定物质的量浓度的KMnO₄溶液250mL，配制时需要的仪器除天平、玻璃棒、烧杯、胶头滴管外，还需　　　　　　　　　　　　　　　

②上述实验中的KMnO₄溶液需要酸化，用于酸化的酸是　　　　　 。

a.稀硝酸　 b.稀硫酸　　 c.稀盐酸　　 d.浓硝酸

③某同学设计的下列滴定方式中，最合理的是　　 　(夹持部分略去)(填字母序号)

　 (6)正常人每天应补充14mg左右的铁。其中绝大部分来自于食物。如果全部通过服用含FeSO₄·7H­₂­O的片剂来补充铁，则正常人每天服需用含　　　　　　 mg

FeSO₄·7H₂O的片剂。