29.[安徽省蚌埠市第二次教学质量检查考试(理)22.](本小题满分14分)数列和数列由下列条件确定：

①；

②当时，与满足如下条件：当时，；当时，。

解答下列问题：

(Ⅰ)证明数列是等比数列；

(Ⅱ)求数列的前n项和为；

(Ⅲ)是满足的最大整数时，用表示n的满足的条件。

[解析]：(Ⅰ)当时，

当时，

所以不论哪种情况，都有，又显然，

故数列是等比数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，故

所以，

所以，，

(Ⅲ)当时，

由②知不成立，故从而对于，有，于是 ，故

若，

若，则

所以，这与n是满足的最大整数矛盾。

因此n是满足的最小整数，

而

因而，n是满足最小整数

28.[天津市汉沽一中2008~2009届第六次月考 (理)22.](本小题满分14分)已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数(Ⅰ)求实数a的值所组成的集合A(Ⅱ)设关于x的方程的两实数根为x₁、x₂.

试问:

是否存在实数m,使得不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由?

[解析]：

(Ⅰ)

因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f^‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立

即有x²-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。　　 构造函数g(x)=x²-ax-2

∴满足题意的充要条件是：

所以所求的集合A[-1，1] ………(7分)

(Ⅱ)由题意得：得到：x²-ax-2=0………(8分)

因为△=a²+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x₁、x₂由根与系数的关系有：……(9分)

因为a∈A即a∈[-1，1]，所以要使不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当对任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分)

构造函数φ(x)=m²+tm-2=mt+(m²-2) ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是

m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为

{m| m≥2或m≤-2}为所求　　 (14分)

27.[2009年深圳市高三年级第一次调研考试(理)21．](本题满分14分)已知函数，为函数的导函数．

(Ⅰ)若数列满足：，()，求数列的通项；

(Ⅱ)若数列满足：，()．

ⅰ.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；

ⅱ.当时， 求证：．

[解析]：(Ⅰ)，　　　　　　　　　　　　　　　 …………………1分

，

即．　　　　　　　　　　　　 …………………………3分

，　 数列是首项为，公比为的等比数列．

，即．　　　　　　　　　 …………………………5分

(Ⅱ)(ⅰ)，

．

当时，．

假设，则．

由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为．　 …………8分

(ⅱ)， ．

当时，．

假设，则 ．

由数学归纳法，得出数列．　　　　　　　 …………………………10分

又，

，

即．　　　　　　　　　　　　　 …………………………12分

．

，

．　　　　　　　　　　　 　　 …………………………14分

26.[江门市2009年高考模拟考试(理)21.](本小题满分12分)已知函数，是常数，．

⑴若是曲线的一条切线，求的值；

⑵，试证明，使．

[解析]：⑴-------1分，解得，或-------2分

当时，，，所以不成立-------3分

当时，由，即，得-----5分

⑵作函数-------6分

，函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分，

------8分

①若，，，使，

即-------10分

②若，，，

，当时有最小值，且当时-------11分，

所以存在(或)从而，使，即-------12分

25.[江门市2009年高考模拟考试(文)21.](本小题满分14分)设，函数，，．

⑴当时，求的值域；

⑵试讨论函数的单调性．

[解析]：⑴----------1分，时，----------2分；

当时，，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数--------3分，-------4分。所以时，的值域为-------5分。

⑵依题意--　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ---6分。

①，当时，，递减，当时，，递增　　 ----8分。

②，当时，解得，当时，，递减，当时，，递增。当时，，递增--　　　　　　　　　　　　 ---10分。

③，当时，，递减。当时，解得，当时，，递增，当时，，递减-----12分。　

④，对任意，，在每个定义域区间上递减---　　　　　　　　 --13分。

综上所述，时，在或上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在或上单调递减；时，在每个定义域区间上递减----　　　　 -14分。

24.[广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试(理)21.](本小题满分14分)

已知数列,,

(Ⅰ)求数列的通项公式

(Ⅱ)当时,求证:

(Ⅲ)若函数满足：

　　 　　　　　　求证：

[解析]： (1) ,两边加得: ,

　是以2为公比, 为首项的等比数列.　　 ……①

由两边减得: 　　是以

为公比, 为首项的等比数列.　　　 ……②

①-②得: 　所以,所求通项为…………5分

(2) 当为偶数时,

当为奇数时,,,又为偶数

由(1)知, ……………………10分

(3)证明：

又

……12分

………………-14分

23.[中山市2009届高三第二学期2月四校联考(理)](本小题满分14分，第Ⅰ小题5分，第Ⅱ小题4分，第Ⅲ小题5分).

数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数(是常数，＝2.71828)和任意正整数，总有 2；

(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.

[解析]：(Ⅰ)解：由已知：对于，总有 ①成立

∴　 (n ≥ 2)②　 …………………1分

①--②得

∴

∵均为正数，∴　 (n ≥ 2)

∴数列是公差为1的等差数列　　　　　　　　 ………3分

又n=1时，， 解得=1

∴.()　 ……………………………………………5分

(Ⅱ)证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.……6分

∴

　 ……………9分

(Ⅲ)解：由已知　 ，　　　

　　　　 易得　

　　　　 猜想 n≥2 时，是递减数列.　 ………………………………11分

令

∵当

∴在内为单调递减函数.

由.

∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.

又 , ∴数列中的最大项为.　 …………………………14分

22.[2009年3月四县(市)高三调研考试.(理)21．]本小题满分13分)

已知函数

(1)为定义域上的单调函数，求实数的取值范围

(2)当时，求函数的最大值

(3)当时，且，证明：

[解析]：(1)， 　∴

因为对，有

∴不存在实数使，对恒成立　　 2分

由恒成立，∴，

而，所以

经检验，当时，对恒成立。

∴当时，为定义域上的单调增函数　　　　 4分

(2)当时，由，得

　　 当时，，当时，

∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为　 7分

(3)由(2)得，对恒成立，当且仅当时取等号

　 当时，，∵，

∴

∴

同理可得，，，

∴

法二：当时(由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之)，在上递增

令

在上总有，即在上递增

当时，

即

令由(2)它在上递减 ∴

即

　 ∵

∴，综上成立，其中。

21.[2009年3月四县(市)高三调研考试.(文)21．](本小题满分13分)设三次函数，在处取得极值，其图像在处的切线的斜率为。

(1)求证：；

(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围。

[解析]：(1)，由题设，得 ①

　　 ②

, ∴

∵， ∴,∴,

由①代入②得，∴，

得，∴或　 　③

将代入中，得　 ④

由③、④得；　　　　　　　　 7分　　　

(2)由(1)知，　 ，

∴方程的判别式有两个不等实根，，

又，∴，，，

当或时，，当时，

∴函数单调增区间是，∴，

由知。

∵函数在区间上单调递增，∴，

∴，即的取值范围是。　 13分

20.[2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.](本小题满分13分)　 已知函数

　　　 上恒成立.

　 (1)求的值；

　 (2)若

　 (3)是否存在实数m，使函数上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

[解析]：(1)

　　　 恒成立

　　　 即恒成立

　　　 显然时，上式不能恒成立

　　　 是二次函数

　　　 由于对一切于是由二次函数的性质可得

　　　 即

　　　 　．

　 (2)

　　　 即

　　　 当，当．

　 (3)

　　　 该函数图象开口向上，且对称轴为

　　　 假设存在实数m使函数区间 上有

　　　 最小值－5.

　　　 ①当上是递增的.

　　　 解得舍去

　　　 ②当上是递减的，而在

　　　 区间上是递增的，　　　　　

　　　 即

　　　 解得

　　　 ③当时，上递减的

　　　 　　 即

　　　 解得应舍去.

　　　 综上可得，当时，

　　　 函数