(四)创新试题

1．如图(a)所示，x轴上方为垂直于平面xoy向里的匀强磁场，磁感应强度为，x轴下方为方向平行于x轴但大小一定(设为E₀)、方向作周期性变化的匀强电场，在坐标点为(、)和第四象限中某点，各有质量为、带电量为的正点电荷P和Q(不计重力，也不考虑P和Q之间的库仑力)，现使P在匀强磁场中开始做半径为的匀速圆周运动，同时释放Q，要使两电荷总是以相同的速度同时通过y轴，求：

(1)场强E₀的大小及其起始方向和变化周期T；

(2)在图(b)中作出该电场变化的图象(以释放电荷P时为初始时刻，x轴方向作为场强的正方向)，要求至少画出两个周期的图象。

2．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率均为的电子，设电子重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r。已知电子的电量为e，质量为m。

(1)速度方向分别与Ox方向夹角成60°和90°的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？

(2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？

(3)设在某一平面内有M、N两点，由M点向平面内各个方向发射速率均为的电子。请设计一种匀强磁场分布(需作图说明)，使得由M点发出的所有电子都能够汇集到N点。

解析答案：(一)选择题

1．D(由于地面粗糙，滑块可能最终静止在PQ连线的中点上、中点的左方或右方，其动能与电势能的总和将减少，所以PM间距一定小于QN间距)

2．AD　 3．D(因完全相同的粒子碰撞后结合在一起，动量守恒mv不变，而电荷量为原来的2 倍，碰撞中机械能有损失。根据可知，r变小，故D正确。)

4．A　 5．B　　 6．D

(二)解答题

1．如图所示，在A点固定一正电荷，电量为Q，在离A高度为H的C处由静止释放某带正电荷的液珠，开始运动瞬间的加速度大小恰好等于重力加速度g。已知静电常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：

(1)液珠的比荷；

(2)液珠速度最大时离A点的距离h；

(3)若已知在点电荷Q的电场中，某点的电势可表示成，其中r为该点到Q的距离(选无限远的电势为零)。求液珠能到达的最高点B离A点的高度r_B。

2．如图所示，带正电小球质量为m＝1×10^-2kg，带电量为q＝l×10^-6C，置于光滑绝缘水平面上的A点。当空间存在着斜向上的匀强电场时，该小球从静止开始始终沿水平面做匀加速直线运动，当运动到B点时，测得其速度v_B ＝1.5m／s，此时小球的位移为S ＝0.15m．求此匀强电场场强E的取值范围。(g＝10m／s²)

某同学求解如下：设电场方向与水平面之间夹角为θ，由动能定理qEScosθ＝－0得＝V／m。由题意可知θ＞0，所以当E ＞7.5×10⁴V／m时小球将始终沿水平面做匀加速直线运动。

经检查，计算无误。该同学所得结论是否有不完善之处?若有请予以补充。

3．如图所示，虚线上方有场强为E的匀强电场，方向竖直向下，虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场，方向垂直纸面向外，ab是一根长为L的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端在虚线上.将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后，小球先做加速运动，后做匀速运动到达b端。已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数μ=0.3，小球重力忽略不计，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，圆的半径是L/3，求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。

4．如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为B＝5.0×10^－3T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m＝6.64×10^－27㎏、电荷量为q＝+3.2×10^－19C的α粒子(不计α粒子重力)，由静止开始经加速电压为U＝1205V的电场(图中未画出)加速后，从坐标点M(－4，)处平行于x轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域。

(1)请你求出α粒子在磁场中的运动半径；

(2)你在图中画出α粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；

(3)求出α粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。

5．如图所示，oxyz坐标系的y轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与x轴平行。从y轴上的M点(0，H，0)无初速释放一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，它落在xz平面上的N(L，0，b)点(L>0，b>0)。若撤去磁场则小球落在xz平面的P点(L，0，0)。已知重力加速度为g。

(1)已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向；

(2)求电场强度E的大小；

(3)求小球落至N点时的速率v。

6．如图所示，在距地面一定高度的地方以初速度向右水平抛出一个质量为m，带负电，带电量为q的小球，小球的落地点与抛出点之间有一段相应的水平距离(水平射程)，求：

(1)若在空间加上一竖直方向的匀强电场，使小球的水平射程增加为原来的2倍，求此电场的场强的大小和方向；

(2)若除加上上述匀强电场外，再加上一个与方向垂直的水平匀强磁场，使小球抛出后恰好做匀速直线运动，求此匀强磁场的磁感应强度的大小和方向。

(一)选择题

1．如图所示，在粗糙绝缘水平面上固定两个等量同种电荷P、Q，在PQ连线上的M点由静止释放一带电滑块，则滑块会由静止开始一直向右运动到PQ连线上的另一点N而停下，则滑块由M到N的过程中，以下说法正确的是[　　　 ]

A．滑块受到的电场力一定是先减小后增大

B．滑块的电势能一直减小

C．滑块的动能与电势能之和可能保持不变

D．PM间距一定小于QN间距

2．如图所示，宽h=2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=5cm，则[　　　 ]

A．右边界:-4cm<y<4cm有粒子射出

B．右边界:y>4cm和y<-4cm有粒子射出

C．左边界:y>8cm有粒子射出

D．左边界:0<y<8cm有粒子射出

3．如图6所示。在一个半径为R的圆形区域内有一匀强磁场，磁场方向垂直于圆面向里。一个带电粒子从此场边界的A沿指向圆心O的方向进入磁场区域内，粒子将做圆周运动到达磁场边界的C点。但在粒子经过D点时，恰好与一个原来静止在该点的完全相同的粒子碰撞后结合在一起形成新粒子。粒子的重力不计。关于这个新粒子的运动情况，以下判断正确的是[　　　 ]

A．在磁场中运动的整个过程中，系统的总机械能不变

B．运动半径将增大，可能到达E点

C．运动半径将不变，在磁场中运动的时间变短

D．运动半径将减小，可能到达F点

4．示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形。它的工作原理等效成下列情况：(如图2所示)真空室中电极K发出电子(初速不计)，经过电压为U₁的加速电场后，由小孔S沿水平金属板A、B间的中心线射入板中。在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线垂直的范围很大的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交，电子通过极板打到荧光屏上将出现亮点，若在A、B两板间加上如图乙所示的变化电压，则荧光屏上的亮点运动规律是[　　　 ]

A．沿y轴方向作匀速运动　　　 　　　 B．沿x轴方向作匀速运动

C．沿y轴方向作匀加速运动　　 　　　 D．沿x轴方向作匀加速运动

5．回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示.它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近，分别和高频交流电源相连接，两盒间的窄缝中形成匀强电场，使带电粒子每次通过窄缝都得到加速。两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，带电粒子在磁场中做圆周运动，通过两盒间的窄缝时反复被加速，直到达到最大圆周半径时通过特殊装置被引出。如果用同一回旋加速器分别加速氚核()和α粒子()比较它们所加的高频交流电源的周期和获得的最大动能的大小，有[　　　 ]

A．加速氚核的交流电源的周期较大，氚核获得的最大动能也较大

B．加速氚核的交流电源的周期较大，氚核获得的最大动能较小

C．加速氚核的交流电源的周期较小，氚核获得的最大动能也较小

D．加速氚核的交流电源的周期较小，氚核获得的最大动能较大

6．如图所示，在某空间同时存在着相互正交的匀强电场E和匀强磁场B，电场方向竖直向下，有质量分别为m₁、m₂的a、b两带负电的微粒，a的电量为q₁，恰能静止于场中空间的c点，b的电量为q₂，在过c点的竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动，在c点a、b相碰并粘在一起后做匀速圆周运动，则[　　　 ]

A．a、b粘在一起后在竖直平面内以速率做匀速圆周运动

B．a、b粘在一起后仍在竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动

C．a、b粘在一起后在竖直平面内做半径大于r的匀速圆周运动

D．a、b粘在一起后在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动

(二)高考预测

从历年高考试题可以观察到：

1．命题在能力立意下，惯于物理情景的重组翻新，设问的巧妙变幻，即所谓旧题翻新，具有不回避重复的考查特点；

2．力、电综合命题多以带电粒子在复合场中的运动为载体考查学生理解能力、推理能力、综合分析能力及运用数学知识解决物理问题的能力；

3．带电粒子在复合场中的运动的命题，集中融合力学、电磁学等知识，其特点构思新颖、综合性强，突出考查考生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力。

因此，力、电综合问题，仍将是近年综合测试不可回避的命题热点，应引起足够的关注。

(一)方法总结

综合上述例析，可以看出：要正确、迅速解答带电粒子在复合场内运动类问题，首先必须弄清物理情境，即在头脑中再现客观事物的运动全过程，对问题的情境原型进行具体抽象，从而建立起正确、清晰的物理情境；其二，应对物理知识有全面深入的理解；其三，熟练掌握运用数学知识是考生顺利解决物理问题的有效手段。

分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处就是多了电场力和磁场力，其思路、方法与解题步骤相同，因此在利用力学的三大观点(动力学、能量、动量)分析的过程中，还要注意：

1．洛伦兹力永远与速度垂直、不做功

2．重力、电场力做功与路径无关，只由初末位置决定，当重力、电场力做功不为零时，粒子动能肯定变化。

3．洛伦兹力随速率的变化而变化，洛伦兹力的变化导致了所受合外力变化，从而引起加速度变化，使粒子做变加速运动。

8．如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场。磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外。一质量为m、带电量为－q的带电微粒在此区域恰好作速度大小为v的匀速圆周运动。(重力加速度为g)

(1)求此区域内电场强度的大小和方向。

(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°，如图所示。则该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？

(3)在(2)问中微粒又运动P点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向右，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少？

解析：(1)带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，因此：mg=Eq

解得：　　　 方向：竖直向下

(2)粒子作匀速圆周运动，轨道半径为R，如图所示。 最高点与地面的距离：

解得：

该微粒运动周期为：　 运动到最高点所用时间为：

(3)设粒子升高度为h，由动能定理得：

解得：

微粒离地面最大高度为：

点评：此题考查了带电粒子在重力场、电场和磁场三场并存情况的分析，需要进行准确的动力学分析，综合应用知识求解。

7．如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S₁、S₂为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向里和向外，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S₁、S₂共线的O点为原点，向下为正方向建立x轴。板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S₁进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。求：

(1)当两板间电势差为U₀时，求从小孔S₂射出的电子的速度v₀；

(2)两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上；

(3)电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。

解析：(1)根据动能定理，得　 解得

(2)欲使电子不能穿过磁场区域而打在荧光屏上，应有

而由此即可解得

(3)若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿过磁场区域打在荧光屏上的位置坐标为x，则由轨迹图可得 注意到和

所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为

点评：此题是电场中加速、两有界磁场结合一起的题目，需要对带电粒子的运动进行分析和讨论，对临界情况有一准确的判断，从而得出正确的结论。

6．如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为－q、质量为m的带电粒子(重力忽略不计)，开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C点进入磁场，并以最短的时间从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：

(1)筒内磁场的磁感应强度大小；

(2)带电粒子从A点出发至重新回到A点射出所经历的时间。

解析：(1)带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短。

由qE＝mv² 粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为v＝

由r＝　 由几何关系有Rcot30°＝ r　　 得B＝

(2)粒子从A→C的加速度为a＝qE／md　

由d＝at₁²/2，粒子从A→C的时间为t₁＝=d

粒子在磁场中运动的时间为t₂＝T／2＝πm／qB 　 得t₂＝πR

求得t＝2t₁+t₂＝(2d +πR)

点评：此题是电场、磁场和碰撞有机结合在一起的题目，需要对带电粒子的运动有一个准确的分析和求解。

5．某同学家中旧电视机画面的幅度偏小，维修店的技术人员检查后诊断为显像管或偏转线圈出了故障。通过复习，他知道显像管的简要工作原理是阴极K发射的电子束经高压加速电场(电压为U)加速后，进入放置在其颈部的偏转线圈形成的偏转磁场中偏转，偏转后的电子轰击荧光屏，荧光粉受激发而发光，如图所示是显象管工作原理的示意图。已知阴极k发射出的电子束(初速度可视为零)经高压加速电压U = 22.5 KV加速后(电子从阴极到阳极的过程为加速过程)，正对圆心进入磁感应强度为B，半径为r的圆形匀强磁场区，偏转后打在荧光屏P上。(电子的电量为q = -1.6×10^-19C，质量m = 0.91×10^-30kg)。请你帮他讨论回答下列问题：

(1)电子在A处和B处的电势能，哪处高？电场力对电子做的功为多少？电子到达阳极的速度为多少？

(2)若电子的荷质比为K，电子通过圆形磁场区过程的偏转角α是多大？(用字母表示)

(3)试帮助维修店的技术人员分析引起故障的原因可能是什么？

解析：(1)在电子从阴极A到阳极B的过程中要被加速，A和B处的电势比较，A处的高，电场力做正功，电势能减小，所以粒子在小孔A高于B处的电势能。

W_AB = q U=1.6×10^-19×22.5×10³=3.6×10^-15 J，是正功

由 得m / s = 8.9×10 ⁷ m / s

(2)电子被加速 电子在磁场中偏转的轨道半径如图，

而图中α=2θ，又

由以上四式可得

⑶由知，偏转α越大，偏转量越大，荧光屏上的画面幅度越大。由此可见，故障的原因可能是：①加速电场的电压过高；②偏转线圈的电流过小；③偏转线圈匝间短路，线圈匝数减少，偏转磁场减弱。

点评：此题是一道带电粒子的实际应用题型，考查了带电粒子在电场中的加速、有界圆形磁场中的偏转，运动过程多，需要细致准确的分析和做图。

4．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示。离子源S产生带电量为q的某种正离子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的。粒子从容器A下方小孔S₁飘入电势差为U的加速电场，然后经过小孔S₂和S₃后沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上。

(1)小孔S₁和S₂处的电势比较，哪处的高？在小孔S₁和S₂处的电势能，哪处高？如果容器A接地且电势为0，则小孔S₁和S₂处的电势各为多少？(设小孔极小，其电势和小孔处的电极板的电势相同)

(2)求粒子进入磁场时的速率和粒子在磁场中运动的轨道半径。

(3)如果从容器下方的S₁小孔飘出的是具有不同的质量的带电量为q的正离子，那么这些粒子打在照相底片的同一位置，还是不同位置？如果是不同位置，那么质量分别为的粒子在照相底片的排布等间距吗？写出说明。

解析：(1)由于电荷量为带正电的粒子，从容器下方的S₁小孔飘入电势差为U的加速电场，要被加速，S₁和S₂处的电势比较，S₁处的高，从小孔S₁到S₂电场力做正功，电势能减小，所以粒子在小孔S₁处的电势能高于在S₂处。如果容器A接地且电势为0，而小孔S₁和S₂处的电势差为U，所以小孔S₁和S₂处的电势各为0和-U。

(2)设从容器下方的S₁小孔飘出的是具有不同的质量的电荷量为的粒子，到达S₂的速度为v，经S₃进入射入磁场区，根据能量守恒，有　　 v=

设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得： 　　

(3)在磁场中偏转距离d=

由于是具有不同的质量的粒子，所以距离d不同，这些粒子打在照相底片的不同位置。从上式可以看出，在磁场中偏转距离d与质量的平方根成正比，所以质量分别为的粒子在照相底片的排布间距不等。

点评：此题是与质谱仪相关的一道习题，考查了学生对基本物理模型的理解和掌握。