(x+3)·(x－1)＝0

∴x₁＝－3，x₂＝1，∴选D

误点警示：要根据方程的特点灵活选用方法解方程． 但是解方程时切记不可在方程的两边同时除以(x+3)这个因式，否则会错选答案A．

例5. 对于二次三项式x²－10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．

解析：此题问某个代数式的值能不能等于某个定值，我们可以从反面出发来思考，即假设其能够等于某个定值，再看其构成方程的解是不是存在，若存在说明可能，若不存在说明不可能．具体解法如下：

不同意．

∵当x²－10x+36＝11时，

化简得x²－10x+25＝0即(x－5)²＝0

此方程有解，解得：　

x₁＝x₂＝5

即当x＝5时，x²－10x+36＝(x－5)²+11＝11．

例6. 如图，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，问当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ΔABC与ΔCDB相似?

解析：ΔABC与ΔCDB相似，这样设问时要分两种情况讨论，不要遗漏．

∵∠ABC＝∠CDB＝90°

　　 1)当时，ΔABC∽ΔCDB，∴BD＝

　　 2)当时，ΔABC∽ΔBDC，∴

　　 ∴当BD＝或 BD＝时，这两个三角形相似

例7. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连结DE并延长交AC的延长线于F，若BD∶DE＝AB∶AC．　

求证：△CEF是等腰三角形．　

分析：由已知AB∶AC＝BD∶DE并结合图形容易看出，若过点D作DG∥AF，交BC于G，则AB∶AC＝BD∶DG，所以DG＝DE，从而可证CF＝EF．

证明：过点D作DG∥AF交BC于G，则，　

∵，

∴DE＝DG　

∵DG∥CF，∴△CFE∽△GDE．　

∴＝．

∴CF＝EF．∴△CEF是等腰三角形．　

例8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC 的平分线，已知AB＝4，那么AD＝_________．

　　 解析：在Rt△ACD中，可得∠CAD＝30°，则再需设法找出另一条件，可以先解Rt △ACB，求出AC，从而求出AD．

　 　在Rt△ABC中，∠B＝30°，

　　 ∴AC＝AB＝2，

　　 ∵∠CAB＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，

　 　∴∠CAD＝∠CAB＝30°，

　　 在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，　　　　　　　　　　　　

　　 ∴AD＝＝4．　　　

领悟整合：解直角三角形的关键是把要求的有关量放到某个直角三角形中，利用角的关系、边的关系、锐角三角函数进行求解．尤其是用三角函数时要确定好已知量和所求量之间建立哪种函数关系，不能用错了．

例9. 如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．

　　 分析：本题求线段的长，结合已知条件，要通过解直角三角形来解决．由题可得△ABD为等腰直角三角形，于是可设AB＝BD＝x，在Rt△ABC中用锐角三角函数得方程，解方程可得x即AB的高．

解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，　 ∴BD＝AB．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB．设AB＝x(米)，

∵CD＝16，　　 ∴BC＝x+16．

∴x+16＝x　 ．即铁塔AB的高为米．

另解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC＝ABcot30°　

在 Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝ABcot45°

∵CD＝BC－BD＝16，∴ ABcot30°－ ABcot45°＝16

即铁塔AB的高为 米．

例10. (2007年泰州市)某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．

⑴小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．

⑵小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．

⑶在⑵的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？

分析：运用树状图求出概率，从而可以判断游戏是否公平，最后借助不等式的知识可以求出答案．

解：⑴树状图：

．

⑵不公平，理由如下：

法一：由树状图可知，，，．所以不公平．

法二：从(1)中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平．

法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．，，所以不公平．可将第二道环上的数4改为任一奇数．

⑶设小军次进入迷宫中心，则，解之得．

所以小军至少2次进入迷宫中心．

[模拟试题](答题时间：120分钟)

5. 随机事件的概率

本章主要是概率的概念及通过模拟实验进行概率的预测，教材首先通过大量的实验得出概率的概念，体现了频率与概率的辩证关系，频率是对概率的估计，概率是对频率的预测．动手操作、多实验、用心观察、勤于思考、善于总结；改变学习方式，养成自主探索、合作学习的习惯，是学好本章的诀窍．

学习过程中应注意：⑴注意相关知识的前后联系，有助于理解和掌握知识；⑵注意频率与概率之间的关系．当实验次数充分大时，可以取频率值作为概率的估计值，当理论概率不易求时，往往通过频率来求；⑶注意替代物选择的条件，在用替代物模拟实验时，要求必须在相同的条件下进行．

本章常见考点有：⑴画树状图或列表求解某事件的概率；⑵利用概率，判断游戏的公平性；⑶利用概率设计方案．

[典型例题]

例1. 求使式子有意义的的值．

分析：使代数式有意义的未知数的值，因不同代数式而各异．一般来说，二次根式要使被开方数是非负数，分式要使分母不为零．如果同时出现在几个不同的代数式中，则应综合考虑．使上式有意义的的值必须满足被开方数为非负数，分母不等于零．

解：由题意得：解得即

例2. 化简求值：，其中

分析：运用二次根式的性质化简，并注意题目中的隐含条件．

解：

因为

所以0<a<1

所以原式

＝5

例3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是　　 (　　 )

　　 A. 　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　D.

解析：选A．因为B选项含有分式，不是一元二次方程；C选项由于a的取值不确定，有可能等于0，不一定是一元二次方程；D选项化简后是一元一次方程．

例4. 方程x(x+3)＝x+3的解是 (　　 )

A. x＝1　 B. x₁＝0， x₂＝－3　 C. x₁＝1， x₂＝3　 D. x₁＝1， x₂＝－3

解析：根据方程的特点可用因式分解法．

4. 解直角三角形

本章主要是直角三角形的边、角关系及其应用．在实际生活中，很多问题，特别是测量问题都可以通过解直角三角形来解决．锐角三角函数是在直角三角形中定义的，它是研究直角三角形中边与角之间关系的根本依据．

学习本章注意数形结合的思想，解直角三角形本身就是用数研究形或用形表示数，只有正确运用数与形的结合，才能深刻理解、迅速掌握、牢固地记忆定义和定理．我们要学会用解直角三角形解决现实生活中的实际问题，即把实际问题转换成直角三角形中的边、角关系问题，要在解题中体会，探索并运用一定的技巧．

本章常见考点有：⑴三角函数的概念；⑵解直角三角形；⑶解直角三角形的应用．

3. 图形的相似

本章是对三角形知识的进一步认识，围绕比例线段和相似三角形的基础知识展开，主要研究了相似图形的概念、性质，相似三角形的判定、性质及其应用，并介绍了用坐标研究图形的运动变换的方法．

在学习过程中应注意：⑴观察图形结合图形特点弄清概念的意义，理解概念的范畴；⑵注意与实际问题相结合，体会相似及相似三角形在现实生活中的应用；⑶注意加强合情推理，注重通过直观操作(测量、观察、画图等)得出结论．

本章常见考点有：⑴求比例线段；⑵应用相似三角形的性质或判定进行证明和计算；⑶图形与坐标；⑷运用相似三角形的知识解决实际生活问题．

2. 一元二次方程

本章是我们在前面学习的一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程等知识的延伸，它也是数学科学中方程领域的重要基础部分．通过系统地学习本章知识，不但可以熟练地解一元二次方程，而且还要更深入地了解一元二次方程与一元一次方程之间的联系和相互转化的思想，经历一元二次方程解法的探究过程，更好地体会数学的实际应用价值．

学习本章可以采用公式记忆法类比学习法．如以“公式”形式记忆一元二次方程的一般形式，直接开平方法、因式分解法及公式法解一元二次方程的模型．再如：一元一次方程有一个解，而一元二次方程有解时一定是两个解，可以通过类比记忆二者的联系和区别．

本章常见考点有：⑴利用一元二次方程的四种常用方法解一元二次方程；⑵一元二次方程根的判别式的简单应用；⑶利用一元二次方程解决简单的实际问题．

1. 二次根式

本章是前面学习数的开方的延伸，主要是在理解二次根式概念的基础上，进一步掌握最简二次根式和同类二次根式的意义，并能熟练进行二次根式的乘除、加减运算．体会运算律在计算过程中的简便思想，完善幂的运算性质的知识体系．

本章学习应该注意二次根式是从形式上给出的定义，不要与判断带根号的数是不是无理数、有理数混淆．同时注意二次根式乘除法运算公式正反用法的条件及最后计算结果的最简性．学习本章还要注意类比方法的运用，即以前学习的运算律、公式在二次根式计算中同样可以使用．

本章常见考点有：⑴利用二次根式性质进行化简；⑵利用二次根式的定义确定字母取值范围；⑶利用二次根式的加减乘除法则进行计算、化简、求值．

2. 难点：

⑴二次根式性质、法则的正确使用．

⑵灵活运用一元二次方程的知识解决实际问题．

⑶相似三角形性质、判定的灵活应用．

⑷如何应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．

⑸对实验频率与理论概率的内涵的理解．

1. 重点：

⑴二次根式的化简以及运算．

⑵运用一元二次方程的知识、技能解决问题．

⑶相似三角形性质、判定的应用．

⑷理解并掌握直角三角形边角之间的关系．

⑸学会求解简单随机事件的概率，会进行简单的实验．

期中复习(九年级上册全部内容)

18．(12分)为测量某遥控车的性能，将其平放在粗糙水平面上，并在车尾部系上一条可忽略质量的足够长的非弹性绳索，绳索跨过定滑轮。在绳索另一端不断调节悬挂重物的质量，使遥控车刚好能够匀速向右运动，此时重物的质量为m=10kg 。立即将遥控车停住，并向左开始以恒定的功率P=4kW起动，t=4s时车和重物均达到最大速度。以知路面阻力恒为正压力的K=0.2倍，g取10 m／s²。求：

(1)遥控车的质量M

(2)起动过程中的最大速度V_m的大小。

(3)在启动过程的这4s内，遥控车向左走了多远？