3.若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，

根据mg=G·m_地m/R²得m_地=gR²/G

ρ_地=m_地/V=3g/4πGR

“GM=gR²”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到.

2.若已知地球的卫星(如月球)绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据

Gm_地m_月/r²=m_月·v²/r得

m_地=rv²/G

ρ_地= 　=3V²r/4GπR³

以地球质量的计算为例.

1.若已知地球的卫星(如月球)绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据

Gm_地m_月/r²=m_月r4π²/T²　 得　 m_地=4π²r³/GT²

ρ_地=m_地/V=3πr³/GT²R³

3．解题的相关知识：

(1)在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：

一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即＝；

二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G ＝mg从而得出GM＝Rg。

(2)圆周运动的有关公式：＝，v=r。

①由可得：　　 r越大，v越小。

②由可得：　 r越大，ω越小。

③由可得： 　r越大，T越大。

④由可得： r越大，a_向越小。

2. 应用万有引力定律解决天体问题的一个核心思想便是：天体做圆周运动时所需向心力由万有引力提供。

1. 万有引力与重力：如图所示，重力实际上是万有引力的一个分力。

4. 圆周运动中的临界问题

①如图所示，没有物体支持的小球，在竖直平面作圆周运动通过最高点的情形：

⑴临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用

mg=mv²/R，v_临界=.

注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力提供向心力，此时临界速度v_临界≠

②如图所示，有物体支持的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的临界条件：v=0(有物体支持的小球不会脱落轨道，只要还有向前速度都能通过最高点)

球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ⑴当v=0时，F_N=mg，(F_N为支持力、方向背向圆心方向)

⑵当0<V<时，F_N随v增大而减小，且mg>F_N>0.(F_N为支持力)

⑶当v=时，F_N=0.

⑷当v>时，F_N随v增大而增大，且F_N>0.(F_N为拉力，方向指向圆心)

注意：若是图(b)的小球，此时将脱离轨道作平抛运动，因为轨道对它不能产生拉力.

3. 匀速圆周运动的实例分析：

①火车拐弯：火车拐弯的受力情况，如图所示.

F_Ncosθ=Mg　　　 F_Nsinθ=F_向

所以F_向=Mgtanθ

当Mgtanθ=Mv²₀/r，火车拐弯时，既不挤压内轨道又不挤压外轨道。

当v＞v₀，即Mv²/r＞Mgtanθ时火车车轮挤压外轨，外轨作用于车轮的力的水平分量与Mgtanθ之和，提供向心力。

即Mgtanθ+F_外水平=Mv²/r

当v＜v₀，即Mv²/r＜Mgtanθ时，火车车轮挤压内轨，内轨作用于车轮的力的水平分量与Mgtanθ之差，提供向心力。

即Mgtanθ- F_内水平=Mv²/r

②汽车过拱桥

汽车过拱桥的受力情况，如图所示，汽车在竖直方向受到两个力的作用：重力mg和桥对汽车的支持力F_N.

　Mg-F_N=mv²/r　　　 F_N=mg-mv²/r

汽车对桥的压力F^’_N=F_N(方向相反)

由此看出这个压力小于汽车的重力mg.

③锥摆：锥摆的受力情况，如图所示. F_向=mgtanθ

F_向=mv²/r=mv²/Lsinθ

所以　 　　　　　　　　　　　

2. 向心加速度

①方向：总是指向圆心，时刻在变化

②大小：a=v²/r=ω²r=(2π/T)²r=(2πf)²r

③物理意义：描述线速度改变的快慢

注意： a与r是成正比还是成反比?若ω相同则a与r成正比，若v相同，则a与r成反比；若是r相同，则a与ω²成正比，与v²成正比。

1. 向心力

①方向：总是指向圆心，时刻在变化(F是个变力)

②大小：F=ma=mv²/r=mrω²=m(2π/T)²r=m(2πf) ²r

③作用：产生向心加速度度，只改变速度方向，不改变速率

④向心力是按力的作用效果命名的，它并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力以外的另一种力，而是这些力中的一个或几个的合力.

⑤动力学表达式：将牛顿第二定律F=ma用于匀速圆周运动，即得F=mv²/r=mrω²=mωv=m(2π/T)²r=m(2πf)²r