3．已知当时均有，则实数的取值范围是__________.

2．已知的外接圆的圆心，，则的大小关系为______．

1．与圆相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有__________条

4. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设，过点的直线与椭圆C相交于两点，当线段的中点落在正方形内(包括边界)时，求直线的斜率的取值范围.

解: (Ⅰ)依题意，设椭圆C的方程为 焦距为，

由题设条件知， 所以

　　　　　 故椭圆C的方程为　　 .

(Ⅱ)显然直线的斜率存在，所以可设直线的方程为.

如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

由得

.　　　　　

由解得.　　

因为是方程①的两根，所以，于是

=，

因为，所以点G不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为

　即　 亦即

解得，此时②也成立. 2

故直线斜率的取值范围是

说明：本题通过正方形的面积转化为边长，要求学生能通过椭圆的定义，得到椭圆的相关基本量.第二问对于“线段的中点落在正方形内(包括边界)”是学生的思维难点，进行有效的代数化是解题的关键.可以让学生回忆数学中关于平面区域中位置的判断方法，找到它的充要条件.

3. (理科学生做)

已知是抛物线上两个动点，且直线与直线的倾斜角之和为，试证明直线过定点.

解： 显然，直线与轴不垂直，设直线的方程为，

代入，得：.

设，，则：

设直线与直线的倾斜角分别为，则，

又，

所以，.

即，

直线的方程为，即，

所以，直线恒过定点.

说明：本题要求学生能够掌握用代数方法解决几何问题的一般方法：研究直线过定点的问题就要通过直线AB的方程讨论问题，也就是要找到与的关系.为此，直线AB与抛物线交于不同的两个点及对于条件“直线与直线的倾斜角之和为”进行必要的有效的代数化就成为解决本题的主要任务.

2.(理科学生做)

已知圆，动圆与定圆在轴的同侧且与轴相切,与定圆相外切.

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)已知，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

解：(Ⅰ)设动圆的半径为，则.

设，根据圆与轴相切，以及动圆与定圆在轴的同侧，可得，

所以，.

化简得：.

所以，动点的轨迹的方程为.

(Ⅱ)设，则以为直径的圆的圆心为，

半径，

若存在满足题意的直线，设方程为，则圆心到该直线的距离为.

根据勾股定理，可得：该直线被圆所截得的弦长满足：

，即

　　　 要使为定值，需且只需.

所以，存在垂直于轴的直线_：，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值，定值为2.

　　 说明：本题通过直接法得到抛物线的轨迹方程，有助于学生进一步梳理抛物线的概念，要注意的发现.第二问实际考查的是直线与圆的位置关系问题，要求学生尽量利用几何条件解题：弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，知二求一.

1．如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点

(1)若是的中点，求证：.

(2)过三点的圆与轴交于两点，求的范围.

(1)　　　 解:由题意得，　

又点在椭圆上，且在轴上方，得

(2)　　　 (方法一)设，其中

圆过三点，圆心在线段的中垂线上

设圆心为，半径为，有

，

，，当且仅当即时取“=”

.的取值范围是

(方法二)解：设，其中，圆过三点，

设该圆的方程为，有

　　 解得

圆心为半径

，

，当且仅当即时取“=”

，的取值范围是

说明：此题的第1问用向量方法去证明垂直问题，既体现了向量与解析几何的综合，又体现了解析几何中重要的基本思想：用代数方法解决几何问题.第2问考查了与圆有关的基本问题及典型方法--如何求圆的方程及如何计算圆的弦长.

5．(文科学生做)

据统计，从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如下表所示：

其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日.

(Ⅰ)把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数(精确到0.1)；

(Ⅱ)用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率.

解：(Ⅰ) 总体平均数为

(Ⅱ)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万”

从非指定参观日中抽取2天全部可能的基本结果有：(15,9), (15,12), (15,14), (9,12), (9,14), (12,14),共有6个基本结果； 事件A包含的基本结果有：(15,12), (15,14),共有2个基本结果.　 所以， 所求的概率为

说明：此题将概率问题与统计问题简单综合，既考查了概率的计算，又体现了用样本估计总体的重要的统计思想.

4．(文科学生做)

一个袋中装有大小相同的黑球和红球，已知袋中共有5个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现将黑球和红球分别从数字1开始顺次编号.

(Ⅰ)若从袋中有放回地取出两个球，每次只取出一个球，求取出的两个球上编号为相同数字的概率.

(Ⅱ)若从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回.求取出的两个球上编号之积为奇数的概率.　

解：设袋中有个黑球，则由已知可得，即

所以，袋中有两个黑球，编号分别为1，2；袋中有3个红球，编号分别为1，2，3.

　(Ⅰ)设“取出的两个球上编号为相同数字”为事件

共包含25个基本事件；

其中{(黑1，黑1)，(黑2，黑2)，(红1，红1)，(红2，红2)，(红3，红3)，(黑1，红1)，(黑2，红2)，(红1，黑1)，(红2，黑2)}，包含9个基本事件.

则

(Ⅱ)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件

共包含20个基本事件；

其中，包含6个基本事件.则

答：(Ⅰ)取出的两个球上编号为相同数字的概率是.

(Ⅱ)取出的两个球上编号之积为奇数的概率是.

命题意图：两个问题分别为有放回的事件和无放回的事件，在这两种不同的情况下，基本事件空间是不同的.建议对于两次取球或两次掷骰子等问题，在列举基本事件的时候，最好考虑有顺序的列举，不容易出错.

3．(文科、理科学生做)

已知，

(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求的概率．

(Ⅱ)若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求的夹角是锐角的概率．

解：(Ⅰ)设“”为事件，由，得

共包含12个基本事件；其中，包含2个基本事件.

则

(Ⅱ)设“的夹角是锐角”为事件，由的夹角是锐角，可得，即,且

，

则

答：(Ⅰ) 的概率是；(Ⅱ) 的夹角是锐角的概率是．

说明：对于文科学生来讲，古典概型和几何概型是两种重要的概率模型.要注意分清两种概率模型的基本特征，并注意解题的规范性.