2、例2(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(I)求证：平面BCD；

　　　 (II)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(III)求点E到平面ACD的距离。

解：(I)略

(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

　　　 异面直线AB与CD所成角的大小为

　　　 (III)解：设平面ACD的法向量为则

　　　 令得是平面ACD的一个法向量，又

　　　 点E到平面ACD的距离

例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。

例3、在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、C₁D₁的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。

1、例1 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B₁到平面A₁BC的距离。

解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：

A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)A₁(1,0,)，B₁(0,1,)，C₁(0,0,)

∴ =(－1,1,－)， =(－1,0,－) =(1,－1,0)

设平面A₁BC的一个法向量为，则

即

所以，点B₁到平面A₁BC的距离

解2 建系设点同上(略)，设平面A₁BC的方程为ax+by+cz+d=0

(a,b,c,d不全为零)，把点A₁，B，C三点坐标分别代入平面方程得

平面A₁BC的方程为x+z=0　

又 B₁(0,1,)

设点B₁到平面A₁BC的距离为d，则

d= =

4、向量法在求点到平面的距离中

(1)设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。

(2)先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P(x₀,y₀,z₀)到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d=

2、向量法在求异面直线间的距离

设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。

1、两点间的距离公式

设空间两点，则

3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。

2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。

1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。

8、平行六面体中，分别是的中点，用向量方法证明：

(1)平面；(2)。

答案见《突破课堂》P64巩固练习12

7、正方体中，分别是中点，求证：平面平面。

答案见《突破课堂》P62巩固练习9