2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

[问题3]函数与数列的综合题　 P₅₁　 例3

数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.

P₅₁　 例3(2006湖北卷)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。(Ⅰ)、求数列的通项公式；(Ⅱ)、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

4．[例]，已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

[注2]本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.

解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　 ②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。(Ⅰ)求的通项；(Ⅱ)求的前n项和。

解：(Ⅰ)由 　得

即

可得

因为，所以 　解得，因而

　(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列，故

则数列的前n项和

前两式相减，得　

　 即　

[问题2]等差、等比数列的判定问题．P₅₃　 T₇ 例P₅₄　 T₉

[例]P₅₄　 T₉(上海卷)已知有穷数列共有2项(整数≥2)，首项＝2．设该数列的前项和为，且＝+2(＝1，2，┅，2－1)，其中常数＞1．

(1)求证：数列是等比数列；(2)若＝2，数列满足＝(＝1，2，┅，2)，求数列的通项公式；

(3)若(2)中的数列满足不等式|－|+|－|+┅+|－|+|－|≤4，求的值．

(1)　 [证明]　 　当n=1时,a₂=2a,则=a；

　　　 　　　　　　2≤n≤2k－1时, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

　　 　　　　　　a_n+1－a_n=(a－1) a_n, 　∴=a, ∴数列{a_n}是等比数列.

　(2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

　　　　　　 b_n=(n=1,2,…,2k).

(3)设b_n≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, b_n<；

　　　 当n≥k+1时, b_n>.

　　　 原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

　　　　　 =(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

　　　　　 ==.

　　　　 当≤4,得k²－8k+4≤0,　　 4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

2．(上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。(1)求数列的通项公式？(2)设数列的前项和为,对数列，从第几项起？

.解(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

　　 当n≥2时, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n ∴=　 a_n=2048()^n－1.

　　 (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,　　 ∴T_n=(－n²+23n).

　　 由T_n<－509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46.　　 ∴从第46项起T_n<－509.

[问题1]等差、等比数列的项与和特征问题P₄₉　 例1　 　3。P₅₀　 例2　 　P₅₆　 例1　 P₅₉　 T₆．

[注1]文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题

例(四川卷)数列的前项和记为(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

解：(Ⅰ)由可得，两式相减得

又 ∴　 故是首项为，公比为得等比数列　 ∴

(Ⅱ)设的公比为　 由得，可得，可得

故可设　　 又

由题意可得　　　　 解得

∵等差数列的各项为正，∴　 ∴　 ∴

1.设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n.

(Ⅰ)若a₁₁=0,S₁₄=98,求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列{a_n}的通项公式

5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

3．注意与之间关系的转化。如：=　 ，　 =．

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。