2．关注“分段函数”。分段函数的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。

[举例] 对于函数给出下列四个命题：

①该函数的值域为[-1,1]

②当且仅当时，该函数取得最大值1

③该函数是以为最小正周期的周期函数

④当且仅当时,　　

上述命题中错误的命题个数为(　　 )

　 A、1　　　 B、2　　　 C、3　　 　D、4

解析：作出函数y=f(x)在[，]上

的图象如右(先分别作函数y=sinx,y=cosx

的图象，观察图象，保留两者中之较“高”者)。

从图象上不难看出：该函数的值域为[-,1]，当或时函数取得最大值1，该函数是以2为最小正周期的周期函数，当且仅当

时,，∴命题中错误的命题个数为3个，选C。

[巩固]已知是(-，+)上的减函数，那么a取值范围

是　　　　　 。

1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调)，推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式(即函数不等式)”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。

[举例1]设偶函数f(x)=log_a|x-b|在(-∞，0)上递增，则f(a+1)与f(b+2)　　

的大小关系是

A.f(a+1)=f(b+2)　　 B.f(a+1)＞f(b+2)　 C.f(a+1)＜f(b+2)　 D.不确定

解析：函数f(x)=log_a|x-b|为偶函数，则b=0，f(x)=log_a|x|,令g(x)=|x|,函数g(x)(图象为“V”字形)在(-∞，0)递减，而函数f(x)=log_ag(x) 在(-∞，0)上递增,∴0<a<1，∴1<a+1<2=b+2,又函数f(x)为偶函数且在(-∞，0)上递增，∴f(x)在(0，+)上递减，∴f(a+1)>f(b+2),故选B。

[举例2] 设函数，若≤≤时，恒成立，则实数的取值范围是　　　　　

解析：此题不宜将msin及1-m代入函数的表达式，得到一个“庞大”的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：，又函数f(x)递增，∴msin>m-1对≤≤恒成立，分离参变量m(这是求参变量取值范围的通法)得：m<,(0<1- sin≤1,事实上当sin=1时不等式恒成立，即对m没有限制，所以无需研究),记g()=,则m<g()_min，

又∵0<1- sin≤1，∴g()_min=1(当且仅当=0时等号成立)，∴m<1。

[巩固]定义在[-1，a]上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上递增，方程f(x)=0的一根为4，解不等式f(3+x)>0

[提高]定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=,且f(x)在[-3，-2]上是减函数，又、是钝角三角形的两锐角，则下列结论中正确的是:

A.f(sin)>f(cos)　　 B. f(sin)<f(cos)

C.f(sin)<f(sin)　　 D. f(cos)<f(cos

4. [巩固]D； 5. [巩固]A，6. [巩固]， 7. [迁移]，当a>b时在()上递减，∴≤-1，即a>b≥1; 若变为“闭”则a>b>1；8. [巩固] ，[迁移]满足条件的函数图象在y轴的右侧要“拐弯”，即对称轴在y轴的右侧，a<0

8.函数图象的几种变换：平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即曲线(函数图象)向上(右)平移m(m>0)个单位，则方程(表达式)中的y(x)应变为y-m(x-m); 曲线(函数图象)横(纵)坐标变为原来的n倍，则方程(表达式)中的x(y)应变为 ()。对称(翻折)变换，如函数y=f(-x)的图象是由y=f(x)的图象沿y轴翻折得到，y=-f(x)的图象是由y=f(x)的图象沿x轴翻折得到, y=|f(x)| 的图象是由y=f(x)的图象保留x轴上方的部分并翻折x轴下方的部分得到，y=f(|x|)是由y=f(x)的图象保留y轴右侧的部分，擦去左侧部分并将右侧的部分沿y轴翻折得到。记住两个函数图象：y=|x-a|的图象是“V字形”，“尖顶”是(a,0)；的图象是由一个反比例函数平移(分离常数)而来。

　[举例]奇函数y=f(x) (x≠0 ) ,当x∈(0,+∞)时，f (x)=x－1　，则函数f(x-1)的图象是(　)

A　　　　　B　　　　C　　　　　D

解析：函数y=f(x)的图象为C图，将y=f(x)的图象向右平移1个单位即得到函数f(x-1)的图象，故选D。

[巩固] 函数f(x)=sin2x+2cos²x的图象向右平移m个单位后为偶函数，则最小正数m的值为___________

[迁移]使得函数y=x²+a|x|有四个单调区间的a的取值范围　　　 。

简答

7.判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数单调性的“同增异减”法则)，研究三次或三次以上的多项式函数的单调性多用导数；证明函数单调性只能用定义或导数，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会证明：函数的单调性。了解单调性定义的变形：对区间[a,b]内的任意x,y都有，则函数f(x)在[a,b]递增(小于0则递减)。

[举例1]证明函数在(0，上递减，在，)上递增。

解析：记=，思路一：用定义证明，任取0<<≤,)=

-+-=(-)(1-),∵0<<≤,∴,>1,

∴(-)(1-)>0,即),∴函数在(0，上递减.

在，)上递增的证明留给读者自己完成。思路二：用导数，=1-，

若∈(0，，则≥1，=1-≤0，∴函数在(0，上递减.

[举例2]函数在区间(0，3)上单调递减，则a的取值范围为

A．a≥10　　　 B．1<a≤10　　　 C．a≥4　　　 D．1<a<4

解析：函数在区间(0，上递减，∴(0，3)是(0，的子集，即3≤，∴≥10。

[迁移]求函数f(x)=在(-1，)单调递减的充要条件.

(如果把区间的左端变为“闭”，结果如何？)

6. 若函数f(x)满足：f(x+a)= f(x-a), 则f(x)是以2a为周期的函数。注意：不要和对称性相混淆。若函数f(x)满足：f(a+x)=-f(x)(a≠0)，则f(x)是以2a为周期的函数。类似的条件还有等。

[举例]已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为　　　 (　 )　　　　　　　　　　　　

　 A、2　　　　　　 B、3　　　　　 C、4　　　　　 D、5

解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log₅x=1;

当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，

log₅x>1, 与的图象不再有交点，故选C。

[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2^x-1,则f()=　　　 .

5. 偶函数图象关于y轴对称，推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=f(a+x) 函数f(x)的图象关于x=a对称，再推广： 函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a+x)=f(b-x)，f(x)的图象关于x=对称。奇函数图象关于原点对称,关推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=-f(a+x) 函数f(x)的图象关于(a,0)对称。注意：两个函数图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称曲线是函数y=f(2a-x)的图象，函数y=f(x)的图象关于点( a ，0)的对称曲线是函数y=-f(2a-x)的图象。，

[举例1] 若函数y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图象关于　　　 对称

解析：思路一：y=f(x-1)是偶函数，其图象关于y轴对称，向左平移1个单位后得到函数y=f(x)的图象，对称轴也随之平移至x=-1，即函数y=f(x)的图象关于x=-1对称；

思路二：y=f(x-1)是偶函数，则有f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数y=f(x)的图象关于x=-1对称。

[举例2]若函数f(x)=(x-a)³满足f(1+x)=-f(1-x),则f(2)=　　 .

解析：由f(1+x)=-f(1-x)知，函数y=f(x)的图象关于(1，0)对称，事实上函数f(x)=(x-a)³的图象关于(a，0)对称，∴a=1，于是f(x)=(x-1)³，f(2)=1。

[巩固]函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象

A.关于y轴对称　　　　 B.关于直线x=a对称

C.关于点M(a，0)对称　　　　 D. 关于点M(-a，0)对称

4.奇函数对定义域内的任意x满足f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意x满足f(-x)-f(x)=0;注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于 x的恒等式而不是方程。若函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)定义域必关于原点对称；反之，函数定义域不关于原点对称，该函数既非奇函数也非偶函数。若f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)=0；反之不然。

[举例]函数f(x)=log_a|x-b|是偶函数的充要条件为　　　　

解析：思路一：函数f(x)=log_a|x-b|是由偶函数y=log_a|x|平移所得，∴函数f(x)=log_a|x-b|的图象关于直线x=b对称，而它自身又是偶函数，图象又关于y轴(x=0)对称，∴b=0。

思路二：f(x)=log_a|x-b|是偶函数则log_a|-x-b|= log_a|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立，∴b=0。

[巩固] 设f(x)=lg(10^x+1)+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,那么a+b的值为(　 )　　

A.1 　　　　　　　　B.-1　　　　　　 C.-　　　　　　 D.

3.原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图象关于y=x对称；若函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，aA,bC,f [f^-1(b)]=b; f^-1[f(a)]=a　

[举例1] 已知函数的反函数的图象的对称中心是(0，2)，则a=____

解析：原函数是有反比例函数(奇函数)平移而来，其图象关于(a,0)对称，∴它的反函数的图象应关于(0，a)对称，即a=2

[举例2]已知f(x)=x²+2x+3,(x>-1),则f^-1(3)=　　　 。

解析：此题不宜求反函数(麻烦)，注意到3是反函数y=f^-1(x)的自变量，就是原函数y=f(x)的函数值，令x²+2x+3=3，得x=0或x=-2,又 x>-1，∴x=0，此即反函数的函数值f^-1(3)(原函数的自变量)。

[迁移]已知f(x)=2sinxcosx+2cos²x-,x[,],求f^-1(1)的值。

2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，即要求出原函数的值域。求反函数的表达式的过程就是解(关于x的)方程的过程。注意：x=f^-1(y)一定是唯一的。

　[举例] 函数的反函数为

(A)　　　　 (B) (C)　　　　 (D)

解析：∵，∴=1+>1(关注分离常数)，∴∈(0，+)

又由得=，不难解出，互换后得

(互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换)故选B。