<一>数学美的表现

美，作为现实事物和现象，物质产品和精神产品，艺术作品等属性总和，具有匀称性、比例性、和谐，色彩变幻。鲜明性和新颖性，作为精神产品的数学就具有上述美的特征。我们知道，数学的世界，是一个充满了美的世界：数的美、式的美、形的美……，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称，我们可以感受到布局的合理，结构的严谨、关系的和谐以及形式的简洁。

数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。

经通过对数学美表现的研究，我们可以肯定的回答，数学中含有美的因素，数学发展受美育思想的影响，在此，可以借助古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”

<二>数学美的功能:

审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐，艺术，而且通过自然美、社会美、科学美，得到美的熏陶，美化精神的境界。美育，对使学生树立正确的审美观，提高学生的审美能力和审美创造能力，塑造学生完善的人格，促进学生的全面发展，有着非常重要和积极的作用。

数学美的功能，主要体现在下面几个方面：

(1)　　　 数学美能够培养人们创造、发明数学的激情。

(2)　　　 数学美能启发人们探求真理的思路。

(3)　　　 数学美感有检验真理的作用。

(4)　　　 寓美于教，能激发学生的学习兴趣。

(5)　　　 数学美感能达到以美启智，提高学生解决问题的能力。

<三>数学美之教育途径

在科学美层次上，提高学生的科学素养。科学和艺术一样，都有自己的美学特征，起着陶冶情操，完善思维品质的作用。其中包括：科学发现中的美学感悟，探索科学规律获得的愉悦，科学思维方法的美妙等诸多方面。科学美的发掘，可以通过种种渠道进行，包括视觉上的美，情理之中意料之外的“惊讶美”，证明技巧运用中的“机智美”，解决生活实际问题时的“实用美”，撰写小论文时的感受到的“创造美”。在中学数学教学过程中，我们可以从中学数学教材内容的美，如概念之美、证明之美、体系之美、无限之美、平衡之美等方面加以探讨，带领学生进入数学美的乐园，陶冶精神情操，激发他们的学兴趣，提高学生的审美能力，培养创造性思维能力。

提高学生的审美能力，教师应当作为必要的审美示范，引导学生感知，欣赏数学美。另一方面，“从实践中来，到实践中去”，只有将美知识应用于实践，审能教育才有意义，学生的审美能力才能得到进一步提高，因此，数学美之教育途径主要有二：一是展示美，二是应用美。其具体探究途径如下：

1．　　　 展示隐含的美

综观当前的教育形势，举国上下正在全力推进素质教育，培养德智体美劳全面发展，具有创新意识和实践能力的人才已成为教育者关注的焦点。德育已得到高度的重视，教育界高举“德育领先”旗帜；智育在传统教学中有着深厚的根基，重视程度不言而喻；体育本着全民健身的宗旨，活动有声有势；劳动教育或许与生活实践比较密切，也相应受到越来载多的人的关注；然而，美育？……美育没有受到相应的重视！此外，我们在谈论人文精神的时候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面自由的发展之最高层面上，在讨论艺术美的理论中，也常常谈到“真、善、美”三位一体的问题。怀特海曾经指出，数学是真、善、美的辩证统一。一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这就是真；数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的善；数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维这就是数学的美。而这些观点在数学过程中是否得到充分的体现吗？没有！苏霍姆林斯基曾说：“没有审美教育就没有任何教育”。在此，不想夸大美育的作用，但是，作用素质教育的重要组成部分，未能得到充分重视，确是深感遗憾。值得高兴的是，高中数学课程标准(讨论稿)已提出了数学教育必须注意培养学生的科学精神和人文精神，特别是“数学与文化”这一单元体现了数学文化的一个重要功能是在美学方面，这种功能是鼓舞人们对数学的追求化为一种对完善的追求。基于此，提出本课题的研究，或许对中学数学教学中加强美育提供有益的启示。

新课程标准的实施，迫切呼唤着数学教师的角色转换，我们应在新的课程环境下重新塑造自己，并界定自己的职能，使之逐步从“传道、授业、解惑”的权威向与新课程同步成熟的“平等对话者的首席”作根本位移。

在新课程的实践中，在日渐提倡学生个性自由发展的今天，我个人认为，在教学过程中，教师还应该力争做好以下的新角色：

(1)课堂上的主持人。大家看电视时会发现，一场精彩的演出中，主持人虽然是贯串始终，但是并不是大包大揽，由自己亲自表演的。他们用简洁生动而富有感情的话语，串起了一个又一个精彩的节目。可以说课堂也可以是一个大舞台，教师或是设悬，或是点拨，或是指导，而不必长篇大论，大包大揽，把思考，讨论，研究的时间还给学生，从而真正发挥学生的自主探究作用，培养出富有创新性的人才。

(2)独具慧眼的发现者。在一个班级里，学生之间的差异很大：性格不同，爱好不同，欣赏的水平不同，基础不同。在老师眼里，可能存在文化成绩上的“差生”，因此往往戴上有色眼镜去看待。在这样的思维定势下，学生失去学习的宽松环境，对自己缺乏信心，往往会形成恶性循环。教师要担负慧眼独具的发现者。善于发现他们的长处，尽力为他们搭建施展自己才华的舞台，采用赏识成功的方法，激励他们的上进心，利用他们尝试成功喜悦的契机，再循序渐进地进行其他方面的教育！

(3)热情的观众。一场激烈的球赛，总少不了热情的拉拉队，他们的呐喊助威给球员们带来了动力和激情，不管是成功或失败，只要有这种热情，球员们都会有无穷的动力。同样，作为当今的学生，无论是身体还是心理都承受着一定的压力，他们需要的不是父母的教训或教师的责问,是理解和支持。我们教师就要做好热情的观众。在课堂上，让他们充分地展示自己的才艺。精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。不因为学生一两次的失误而对他丧失信心，当老师对学生充满信心时，也正是学生发奋拼搏大步迈向成功的时候！

总之，今天的教育是为了孩子的明天，实施新课程标准，呼唤我们数学同仁携起手来共同做好角色转换。

4.注重信息技术与数学课程内容的整合

《标准》要求普遍使用科学型计算器，以及各种数学教育平台。特别是以统计作为整合的突破口，加强数学与信息技术的结合。在内容上，突出“算法”在整个数学发展中的独特作用，成为理解数学发展的重要线索，力求把算法溶入到数学课程的各相关部分。

另外，新教材还落实了诸如：“发展学生的数学应用意识，培养学生的数学建模能力”；“提高学生的数学思维能力”；“建立合理科学的评价机制”；“与时俱进的打好双基”等等所有《标准》要求的理念。

2003年4月，教育部颁发了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)。《标准》是从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展等各个方面综合考虑，形成了以下的课堂教学的基本理念。　

1.为21世纪我国公民提供必要的数学基础

高中教育仍然属于基础教育阶段。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，但它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。

为了追求更高水平的教育品质，以迎接21世纪的挑战，轰轰烈烈的课程改革已奏响了序曲，一开始它就显现出时代特有的脉搏，体现着新的走向。几年内，新课程走进了学校，走进了课堂，影响着素质教育的进程。由于时代的快速变迁、知识经济的来临、全球化的课改风潮，基础教育课程改革希望能使现存的课程理念和教学实践“脱胎换骨”，并重新思考现代教育的新方向。

“新课标来了，我们怎么教？”这是广大教师的困惑与呼声，也是大家最为迫切的需求。下面就新课程改革与中学数学教学的几个关注的问题谈些个人看法，与在座的各位同仁共同商榷。不妥之处，请指正。

类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax²+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的两个根x₁，x₂满足0<x₁<x₂<。

(Ⅰ)当X∈(0,x₁)时，证明X<ƒ(x)<x₁。

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x₀对称，证明x₀< 。

解题思路：

本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x₁和x₀< 　，由题中所提供的信息可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ(x)－x=0可变为ax²+(b－1)x+1=0，它的两根为x₁,x₂，可得到x₁,x₂与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x₁,x₂是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax²+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x₁)(x－x₂)

因为0<x₁<x₂,所以,当x∈(0,x₁)时, x－x₁<0, x－x₂<0得(x－x₁)(x－x₂)>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,证得x<ƒ(x)

根据韦达定理,有　 x₁x₂=　　∵ 0＜x₁＜x₂<，c=ax₁x₂<x=ƒ(x₁),　　　 又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x₁), 根据二次函数的性质，曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=ƒ(x)在闭区间[0，x₁]上的最大值在边界点x=0或x=x₁处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ(x₁)>ƒ(0)，所以当x∈(0,x₁)时ƒ(x)<ƒ(x₁)=x_1，

即x<ƒ(x)<x₁

函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=－ ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x₀=－，因为x₁,x₂是二次方程ax²+(b－1)x+c=0的根，根据违达定理得，x₁+x₂=－，∵x₂－<0，

∴x₀=－=(x₁+x₂－)<,即x₀=。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。