(一)平均变化率、割线的斜率

2．导数的概念

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

2．求曲线y=f(x)=x³在时的导数．

1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．

例1．(1)求函数y=3x²在x=1处的导数.

分析：先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)²

再求再求

解：法一 定义法(略)

　　 法二：

(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

例2．(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度(单位：)为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和

根据导数定义，

所以

同理可得:

在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．

注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：

思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．

从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是

为了表述方便，我们用

表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，即

说明：(1)导数即为函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率

　　 (2)，当时，，所以

(二)探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t²+6.5t+10的图像，结合图形可知，，

所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

(一)平均变化率