例1(课本例4)求下列函数的导数：

(1)；(2)；

(3)(其中均为常数)．

　 解：(1)函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

　 =。

(2)函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

　 =。

(3)函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

　 =。

例2求的导数．

解：

[点评]

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例3求的导数．

解：

，

[点评]本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例4求y ＝sin⁴x +cos ⁴x的导数．

[解法一]y ＝sin ⁴x +cos ⁴x＝(sin²x +cos²x)²－2sin²cos²x＝1－sin²2 x

＝1－(1－cos 4 x)＝+cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

[解法二]y′＝(sin ⁴ x)′+(cos ⁴ x)′＝4 sin ³ x(sin x)′+4 cos ³x (cos x)′

＝4 sin ³ x cos x +4 cos ³ x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin ² x －cos ² x)

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

[点评]

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例5曲线y ＝x(x +1)(2－x)有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．

[解]y ＝－x ³ +x ² +2 x　　 y′＝－3 x ²+2 x +2　　　

令y′＝1即3 x²－2 x －1＝0，解得　 x ＝－或x ＝1．

于是切点为P(1，2)，Q(－，－)，

过点P的切线方程为，y －2＝x －1即　 x －y +1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为

＝．

复合函数的概念 　　一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

复合函数的导数 　复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

若，则

(二)导数的运算法则

导数运算法则

1． 2． 3．

(2)推论：

　　　　　 (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

(一)基本初等函数的导数公式表

函数	导数

(1)基本初等函数的导数公式表

(2)导数的运算法则

2．已知曲线C：y ＝3 x ⁴－2 x³－9 x²+4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

(y ＝－12 x +8)

1．课本P₉₂练习

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价(单位：元)与时间(单位：年)有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)？

解：根据基本初等函数导数公式表，有

所以(元/年)

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

(1)

(2)；

(3)；

(4)；

(5)．

(6)；

(7)

解：(1)，

。

(2)

(3)

(4)，

。

(5)

(6)

，

。

(7)

。

[点评]

① 求导数是在定义域内实行的．

② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用(单位：元)为

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)　 (2)

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

(1)　　　　　　　 因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．

(2)　　　　　　　 因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．

　 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

(二)导数的运算法则

导数运算法则

1． 2． 3．

(2)推论：

　　　　　 (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

(一)基本初等函数的导数公式表

函数	导数