2．导数的几何意义

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．求曲线在点处的切线．

1．求曲线y=f(x)=x³在点处的切线；

例1:(1)求曲线y=f(x)=x²+1在点P(1,2)处的切线方程.

(2)求函数y=3x²在点处的导数.

解：(1),

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即

(2)因为

所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即

(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

例2．(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．

解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．

(1)　　　 当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

(2)　　　 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

(3)　　　 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．

例3．(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间(单位：)变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到)．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：

所以　　

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

	0.2	0.4	0.6	0.8
药物浓度瞬时变化率	0.4	0	-0.7	-1.4

(三)函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。

(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数　　　

(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。

(二)导函数：

由函数f(x)在x=x₀处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，

即:

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

(二)导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x₀处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？

　　 　⑵切线PT的斜率为多少？

容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即

说明：(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

　　　　 ②切线斜率的本质-函数在处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

(二)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x₀附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？