19．曲线y=x(x+1)(2－x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.

解：y=－x³+x²+2x　　 y'=－3x²+2x+2

　令y'＞0　 知x∈(， )

　又x∈z 　∴x=0或1　　 ∴P点坐标为(0，0)或(1，2).

　切线斜率k=2或1，

　切线方程为y=2x或y=x+1.

18．设曲线S：y=x³－6x²－x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P(x₀，y₀)求证：曲线S关于P点中心对称.

解：y'=3x²－12x－1当x=2时有最小值.故P：(2, －12).

　S在(2，－12)处的切线斜率最小，为－13.

　又y=(x－2+2)³－6(x－2+2)²－(x－2+2)+6

　=(x－2)³－13(x－2) －12

　故曲线C的图象按向量=(－2，+12)平移后方程为y'=x －13x'为奇数，关于原点对称，

故P(2，－12)为曲线S的对称中心.

17．已知直线y=3x+1是曲线y=x³－2x+a的一条切线，求a的值.

解：y'=3x²－2.　 令3x²－2=3，　 x=±.代入切线方程知y₀=1±，

　∴a=y₀+2x₀－x＝ .

16．路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？(要求以m/s为单位)

解：.

　∴OM= 4BM

　同理ON=4CN

　两式相减，知，影长变化BM－CN= (OM－ON)

　=MN=·△t·84m/min

∴.

15．由y=0，x=8，y=x²围成的曲边三角形，在曲线弧OB上求一点M，使得过M所作的y=x²的切线PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大。

答案：(16/3，256/3)

14．求过点P(2，2)且与曲线y=x²相切的直线方程.

解：y'=2x，过其上一点(x₀，x)的切线方程为

　y－x=2x₀(x－x₀)，过P(2，2)，故2－x=2x₀(2－x_0­)

　x₀=2±.　 故切线方程为y=(4±)x－(6±).

13．求曲线y = sinx在点x=π处的切线方程。

提示：根据导数的几何意义求出曲线y = sinx在点x=π处的切线斜率。

解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k== -1，

∴切线方程为 y- 0=- (x- π)，即x+y-π=0。

12．曲线上一点M处的切线与直线垂直，则切线的方程是_______________________　　　 或

11．如果曲线处的切线互相垂直，则x₀的值为　　　　 . ()

10．已知二函数，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为 (　 C　 )

A．0　　　　　　 B．12　　　　　 C．0或12　　　　 D．4或1