8．若函数为偶函数，则．

7．(2007年宁夏)设函数为奇函数，则实数．

6． (2007年全国Ⅰ)设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的(　 B　 )

A．充要条件　　　　　　　　　　　　　 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件　　　　　　　　 D．既不充分也不必要的条件

5．(2008年福建)函数，若,则的值为(　 B　 )

A．3　　　　　 B． 0　　　　　　 C． -1　　　　　　 D．-2

4． 定义在上的奇函数的最小正周期为3，则下列关系中恒成立的是(　 B　 )

A．　 　　　　　　　　　B．　

C．　 　　　　　　　　　D．

3． (2008全国Ⅱ)函数的图像关于( C　 )

A．轴对称　 　　　 　　　　　　　B． 直线对称　

C． 坐标原点对称　　　　　　 　　 　D． 直线对称

2．下列函数中为奇函数的是　 (　 C　 )

A． 　　　　　　　　　　　　　B． 　　

　 C． 　　　　　　　　　D．

1．二次函数是偶函数，则函数的增区间为　 ( A　 )

A．　　 　　B．　　　 　C．　　　 D．

2.设为定义在上的偶函数，当时，的图象是经过点，斜率为的射线，又在的图象中有一部分是顶点在，且过点的一段抛物线.试写出函数的表达式，并作出其图象.

[解析]当时，设，则由，即，得；

当时，设，

则由，即，得；

当时，．

故f(x)＝.

[题型3] 函数的周期问题

[例3] 求下列函数的周期：

　　　 (1)　　　　　 (2)

　[解析](1)由得，，所以函数周期为

(2)由得，，所以函数的周期为．

[点评]这是一个抽象函数的周期问题，注意已知等式中变量的替换，再与周期的定义结合，就可以得出周期.

[变式与拓展]

已知偶函数是定义在上的周期函数，其最小正周期为4．

　　 (1)若，求的值；

　　 (2)若在上递增，则下列关系中正确的是(　　 )

A．　　　 　　　　　　B． 　　　

　 　　C． 　　　　　　　　　D．

[解析](1)∵4是函数的周期，∴也是函数的周期．

于是，．　

　(2)偶函数在在上递增，则在[2，4]上递减。由函数的最小正周期为4知，在[0，2]上递增。排除(B)，又，排除(D)．

∵，∴选(C)．

能力训练

1.判断下列函数的奇偶性

(1)

(2)

[解析](1)由，得，定义域关于原点对称，

又，所以是定义域上的奇函数.

(2)定义域为，关于原点对称，

又当时，，则时，，

∴，

又当时，，则时，，

∴，

故原函数为偶函数.

[题型2]函数奇偶性的应用

[例2]设，是R上的偶函数.

(1)求a的值；

(2)证明在上是增函数．

[解析](1)∵是上的偶函数，∴．

∴

不可能恒为“”，∴当时等式恒成立，∴a＝1．

(2)在上任取，

f(x₁)－f(x₂)＝

∵e＞1，∴0＜＞1，∴＞1，

∴，∴是在上的增函数．

[点评]本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．

[变式与拓展]