5．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？

4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？

3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数与真数，能得到多少个不同的对数值？

2．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3，4}，从A、B中各取1个元素作为占点P的坐标.(1)可以得到多少个不同的点？

(2)在这些点中位于第一象限的点有几个？

1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有(　)

　 A．种　　　 　　B．种　　　 C．18种　　　　　D．36种

[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有　　( )

A．12 种　　　 B．7种　C．24种　　 　　　D．49种

错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.　 ∴选B

错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.

正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．

[例2]从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？

错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10两组，再得到满足要求的数列共3+3＝6个；公差为3时，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4个；公差为4时，只有1,5，9和2,6，10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列8+6+4+2＝20个.

错因：上述解答忽略了1,2，3与3,2，1它们是不同的数列， 因而导致考虑问题不全面，从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16+12+8+4＝40个.

[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数(6不能作9用).

解：解法一　第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.

由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.

解法二：第一步，排百位有6种选择，

　　第二步，排十位有4种选择，

　　第三步，排个位有2种选择.

　根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.

注：如果6能当作9用，解法1仍可行.

[例4]集合A＝{1,2，3,4}，集合B＝{－1，－2}，可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？

分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.

解： 从集合A到集合B的映射共有=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A为定义域B为值域的不同函数共有16－2＝14个.

或

[例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字，

(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？

(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？

(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？

(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

(5)可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？

解：(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.

　(2)分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.

　(3)分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.

　(4)分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6+25+100＝131个

　(5)分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120+48+6+1＝175个

评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.

5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.

4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.

3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.

2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成n个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算最终完成.