4．有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，现从中任取3条线段，求3条线段构成三角形的概率.

3．停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为　(　　)

　A、　　B、　　C、　D、

2．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是　(　)

A、　　B、　　C、　　D、

1．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：

(1)计算表中优等品的各个频率；

(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少？

[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？

错解：有5把钥匙，每次打开房门的概率都是，不能打开房门的概率是，因而恰好第三次打开房门的概率是××＝.

错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.

正解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是.开三次门的所有可能性有种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有种可能.从而恰好第三次打开房门锁的概率是P(A)＝.

[例2] 某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率.

错解：把全组学生分成人数相等的两小组，有种分法，事件A为组里男、女生各半的情形，它有种，所以P(A)＝.

错因:这里没注意到均匀分成两组与分成A、B两组的区别.

正解：基本事件有，事件A为组里男、女生各半的情形，它有种，所以　P(A)＝.

[例3] 把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是　　.

错解：抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等，因而正、反两面交替出现的概率是.

错因：没审清题意.事实上，把一枚硬币向上连抛10次，出现正面5次的概率同样也不等于.

正解：连抛10次得正、反面的所有可能的情况共有种，而题设中的正、反两面交替出现的情况只有2种，故所求的概率为.

[例4]某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为　(结果用分数表示).

解：设“从20名成员中随机选出的2人来自不同国家”为事件A，则A所包含的基本事件数为，又基本事件数为.

　　故P(A)＝.

[例5] 将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数k满足0≤k≤4.在各种放法的可能性相等的条件下，求：

(1)第一个盒没有球的概率；

(2)第一个盒恰有1个球的概率；

(3)第一个盒恰有2个球的概率；

(4)第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率.

解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有种.

(1)第一个盒中没有球的放法有种，所以第一个盒中没有球的概率为：

　　P₁＝.

(2)第一个盒中恰有1个球的放法有种，所以第一个盒中恰有1个球的概率为：　　P₂＝.

(3)第一个盒中恰有2个球的放法有种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：　　P₃＝.

(4)第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有种，所以所求的概率为：P₄＝.

[例6] 一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：

(1)事件A：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；

(2)事件B：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；

(3)事件C：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；

(4)事件D：从从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.

解：(1)基本事件总数是10×10.事件A包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后摸出黑球”，摸出白球及黑球分别有7种和3种可能.所以A发生共有2×7×3种可能.　　∴P(A)＝＝0.42.

2)事件B与事件A不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序.

　　P(B)＝＝0.21

(3)事件C说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是，事件C包含的基本事件个数是.

P(C)＝≈0.47.

(4)与事件A相比，D要考虑摸出两球的先后次序.

P(D)＝≈0.23

评注：注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例(1)(2)是放回抽样，(3)(4)是不放回抽样.

5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I，其中各基本事件均为集合I的含有一个元素的子集，包括m个基本事件的子集A，从而从集合的角度来看：事件A的概率是子集A的元素的个数与集合I的元素个数的比值，即P(A)＝.因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解.

4．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的n个基本结果出现的可能性都相等，这n个结果对应着n个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.

3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P(A)＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A的概率满足：

　　　0≤P(A)≤1

2．频率与概率：随机事件A的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.

1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.