4.圆锥曲线的几何性质：

(1)椭圆(以()为例)：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心(0,0)，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。如(1)若椭圆的离心率，则的值是__(答：3或)；(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__(答：)

(2)双曲线(以()为例)：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。如(1)双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______(答：或)；(2)双曲线的离心率为，则=　　　　　　　　 (答：4或)；(3)设双曲线(a>0,b>0)中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答：)；

(3)抛物线(以为例)：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点(0,0)；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为________(答：)；

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：

(1)椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__(答：)

(2)双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：

(1)椭圆：焦点在轴上时()(参数方程，其中为参数)，焦点在轴上时＝1()。方程表示椭圆的充要条件是什么？(ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B)。如(1)已知方程表示椭圆，则的取值范围为____(答：)；(2)若，且，则的最大值是____，的最小值是___(答：)

(2)双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1()。方程表示双曲线的充要条件是什么？(ABC≠0，且A，B异号)。如(1)双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______(答：)；(2)设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______(答：)

(3)抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

1.圆锥曲线的两个定义：

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C．　　　　 D．(答：C)；(2)方程表示的曲线是_____(答：双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答：2)

12、向量中一些常用的结论：

(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

(2)，特别地，当同向或有

；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).

(3)在中，①若，则其重心的坐标为。如若⊿ABC的三边的中点分别为(2，1)、(-3，4)、　　(-1，-1)，则⊿ABC的重心的坐标为_______(答：)；

②为的重心，特别地为的重心；

③为的垂心；

④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；

⑤的内心；

(3)若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；

(4)向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______(答：直线AB)

11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如(1)按向量把平移到，则按向量把点平移到点______(答：(－8，3))；(2)函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________(答：)

10.线段的定比分点：

(1)定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；

(2)的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_______(答：)

(3)线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如(1)若M(-3，-2)，N(6，-1)，且，则点P的坐标为_______(答：)；(2)已知，直线与线段交于，且，则等于_______(答：2或－4)

9、向量垂直的充要条件： .特别地。如(1)已知，若，则　　　 (答：)；(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ (答：(1,3)或(3，－1))；(3)已知向量，且，则的坐标是________ (答：)

8、向量平行(共线)的充要条件：＝0。如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同(答：2)；(2)已知，，，且，则x＝______(答：4)；(3)设，则k＝_____时，A,B,C共线(答：－2或11)

7、向量的运算律：(1)交换律：，，；(2)结合律：，；(3)分配律：，。如下列命题中：① ；② ；③

；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______(答：①⑥⑨)

提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？