(三)如何解决综合性问题

提高解数学综合性问题的能力是提高高考数学成绩的根本保证。解好综合题对于那些想考一流大学，并对数学成绩期望值较高的同学来说，是一道生命线，往往“成也萧何败也萧何”；对于那些定位在二流大学的学生而言，这里可是放手一搏的好地方。

1、综合题在高考试卷中的位置与作用：

　数学综合性试题常常是高考试卷中把关题和压轴题。在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是高考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。

2、解综合性问题的三字诀：

“三性”：综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。(2)准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性。(3)隐含性：注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。

　“三化”：(1)问题具体化(包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。

　“三转”：(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3)数形转换能力。解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。

　“三思”：(1)思路：由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。(2)思想：高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。(3)思辩：即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。

　“三联”：(1)联系相关知识，(2)连接相似问题，(2)联想类似方法。

3、对平时综合练习的反思：

平时做完综合练习后，要注重反思这一环节，注意方法的优化。要把解题的过程抽象形成思维模块，注意方法的迁移和问题的拓展。再最后的自由复习阶段也可选取部分做过的综合卷中的“压轴题”进行反思，主要研究：审题分析的过程(如：寻求条件与结论联系，与基础知识的联系，与平时基本方法的联系)、隐含条件的运用、计算方法及准确性。

(二)解题思考步骤、程序表

(一)高考应试心理、策略、技巧

高考要取得好成绩，首先要有扎实的基础知识、熟练的基本技能和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的数学能力，同时，也取决于临场的发挥，高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考辅导的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。

1、提前进入“角色”

高考前一个晚上睡足八个小时，吃好清淡早餐，按清单带齐一切用具，提前半小时到达考区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间提前进入“角色”--让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。如：

1．清点一下用具是否带全(笔、橡皮、作图工具、准考证、手表等)。

2．把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”。

3．最后看一眼难记易忘的结论。(这些你记住了吗？)

4．互问互答一些不太复杂的问题。(启动你的思维)

通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。一些经验表明，“过电影”的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能够转移考前的恐惧，而且有利于把最佳竞技状态带进考场。

2、精神要放松，情绪要自控

情绪乐观、思维活跃、适度焦虑、激发动机、积极暗示、挖掘潜能、体育锻炼、心境乐观、学习之余学会休闲。最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此间保持心态平衡的方法有三种：①转移注意法：避开监考者的目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上，回忆考试原则，有效得分时间。②自我安慰法：如“我经过的考试多了，没什么了不起”，“考试，老师监督下的独立作业，无非是换一换环境”等。③抑制思维法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，如此进行到发卷时。

3、迅速摸透“题情”

刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不忙匆匆作答，可先从头到尾、正面反面通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，以保证有良好的开端之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。。

通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

4、 信心要充足，暗示靠自己

答卷中，见到简单题，要细心，莫忘乎所以，谨防“大意失荆州”。面对偏难的题，要耐心，不能急。对于海中的学生要求做到：坚定信心、步步为营、力克难题。考试全程都要确定“人易我易，我不大意；人难我难，我不畏难”的必胜信念，使自己始终处于最佳竞技状态。

5、八先八后

在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪基本趋于稳定，大脑趋于亢奋，此后七八十分钟内就是最佳状态的发挥或收获丰硕果实的黄金季节了。实践证明，满分卷是极少数，绝大部分考生都只能拿下大部分题目或题目的大部分得分。因此，实施“八先八后”及“分段得分”的考试艺术是明智的。

1．先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2．先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。

3．先同后异。就是说，可考虑先做同学科同类型的题目。这样思考比较集中，知识或方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。一般说来，考试解题必须进行“兴奋灶” 转移，思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位，必须进行从这一章节到那一章节的跳跃，但“先同后异”可以避免“兴奋灶”过急、过频和过陡的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。

4．先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理气氛。

5．先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。

6．先局部后整体。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。

7.先面后点。解决应用性问题，首先要全面审察题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际背景。

8．先高(分)后低(分)。这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，以使时间不足时少失分；到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

八先八后，要结合实际，要因人而异，谨防“高分题久攻不下，低分题无暇顾及”。

6、一细一实

就是说，审题要细，做题要实。

题目本身是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看清题意。审题是整个解题过程的“基础工程”，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。解题实践表明，条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向。凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽给予的，只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕慢。

找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，尤忌画蛇添足。一般来说，一个原理写一步就可以了，至于不是题目考查的过渡知识，可以直接写出结论。高考允许合理省略非关键步骤。

为了提高书写效率，应尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。

7、分段得分

对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅，有的人解决得多，有的人解决得少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”--踩上知识点就得分，踩得多就多得分。

鉴于这一情况，高考中对于难度较大的题目采用“分段得分”的策略实为一种高招儿。其实，考生的“分段得分”是高考“分段评分”的逻辑必然。“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。

1．对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的--会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤--对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分。

2．对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。

①　　 缺步解答

如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”，确实是个好主意。

②跳步答题

解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。

③退步解答

“以退求进”是一个重要的解题策略。对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。

④逆向解答

　对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否定结论入手找必要条件。

⑤辅助解答

一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举，既必不可少而又不困难。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。

书写也是辅助解答。“书写要工整、卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应：书写认真-学习认真-成绩优良-给分偏高。

有些选择题，“大胆猜测”也是一种辅助解答，实际上猜测也是一种能力。

8、以快为上

高考数学试卷共有22个题，考试时间为两个小时，平均每题约为5.5分钟。为了给解答题的中高档题留下较充裕的时间，每道选择题、填空题应在二至三分钟之内解决。若这些题目用时太长，即使做对了也是“潜在丢分”，或“隐含失分”。一般，客观性试题与主观性试题的时间分配为4:6。

9、立足中下题目，力争高水平

平时做作业，都是按所有题目来完成的，但高考却不然，只有个别的同学能交满分卷，因为时间和个别题目的难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，是考生得分的主要来源。学生能拿下这些题目，实际上就是数学科打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

10、确保运算正确，立足一次性成功

高考是限时限量的选拔性考试，在120分钟时间内完成大小22个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在答卷时，要在以快为上的前提下，要稳扎稳打，字字有据，步步准确，，尽量一次性成功，提高成功率。不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错。

经过紧张有序的高中数学总复习，高校招生考试即将来临，不少同学认为高考数学的成败已成定局。其实不然，由于这次考试与期中、期末、模拟考试不同，社会的注目，家庭的热切关心，老师的期望，考试成绩又与同学们的切生利益相关，由于重要，可能导致部分同学精神上高度紧张，考前想的很多，会产生波动；但是，我们只要讲究高考数学应试的艺术，还是能把高考数学成绩提高一个档次。

(四)选择题解题的常见失误

1、审题不慎

例46、设集合M＝{直线}，P＝{圆}，则集合中的元素的个数为　(　 )

　 　A、0　　　　　　　　　　　 B、1　　　　　　　　　　　　　　 C、2　　　　　　　　　　 D、0或1或2

误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，所以中的元素的个数为0或1或2。故选D。

剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M，P就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。

2、忽视隐含条件

例47、若、分别是的等差中项和等比中项，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A、　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　 C、　　　　 D、

误解：依题意有，　　　 ①　　　　　　　　 ②

由①²-②×2得，，解得。故选C。

剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由，得，所以不合题意。故选A。

3、概念不清

例48、已知，且，则m的值为(　 )

A、2　　　　　　　　 B、1　　　　　　　　　　 C、0　　　　　　　　　　 D、不存在

误解：由，得，方程无解，m不存在。故选D。

剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即，则，是以两直线的斜率都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。当m=0时，显然有；若时，由前面的解法知m不存在。故选C。

4、忽略特殊性

例49、已知定点A(1，1)和直线，则到定点A的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是　　　　　　　　　　　　　(　 )

A、椭圆　　　　　　　　　 B、双曲线　　　　　　　　　 C、抛物线　　　　　　 D、直线

误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。

剖析：本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线上。故选D。

5、思维定势

例50、如图1，在正方体AC_1­中盛满水，E、F、G分别为A_1­­B₁、BB₁、BC₁的中点。若三个小孔分别位于E、F、G三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的　　　　　　(　 )

A、　　　 B、　　 C、　　 D、

误解：设平面EFG与平面CDD₁C₁交于MN，则平面EFMN左边的体积即为所求，由三棱柱B₁EF-C₁NM的体积为，故选B。

剖析：在图2中的三棱锥ABCD中，若三个小孔E、F、G分别位于所在棱的中点处，则在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图2的思维定势，即过三个小孔的平面为截面时分成的两部分中，较大部分即为所求。事实上，在图1中，取截面BEC₁时，小孔F在此截面的上方，，故选A。

6、转化不等价

例51、函数的值域为　　　　　　(　 )

A、　　 B、　　 C、　　 D、

误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数，所以，故选A。

剖析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由，两边平方得，这样的转化不等价，应加上条件，即，进而解得，，故选D。

(三)选择题中的隐含信息之挖掘

1、挖掘“词眼”

例38、过曲线上一点的切线方程为(　 )

A、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　

C、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、

错解：，从而以A点为切点的切线的斜率为–9，即所求切线方程为故选C。

剖析：上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处的切线”，事实上当点A为切点时，所求的切线方程为，而当A点不是切点时，所求的切线方程为故选D。

2、挖掘背景

例39、已知，为常数，且，则函数必有一周期为　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A、2　　　　　　　　　　　 B、3　　　　　　　　 C、4　　　　　　　　　　　　 D、5

分析：由于，从而函数的一个背景为正切函数tanx，取，可得必有一周期为4。故选C。

3、挖掘范围

例40、设、是方程的两根，且，则的值为　　　　　　　(　 )

A、　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　 C、　　　　　　 D、

错解：易得，从而故选C。

剖析：事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知.从而，故故选A。

4、挖掘伪装

例41、若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为(　 )

A、　　　　　　　 　　　　　　 B、　　　　　　

C、　　　　　 　　　　　　 D、

分析：“对任意的x₁、x₂­，当时，”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“有意义”。事实上由于在时递减，从而由此得a的取值范围为。故选D。

5、挖掘特殊化

例42、不等式的解集是(　 )

A、　　　 B、　C、{4，5，6}　　 D、{4，4.5，5，5.5，6}

分析：四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。

6、挖掘修饰语

例43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有(　 )

A、72种　　　　　　　　　　 B、36种　　　　　　　 C、144种　　　　　　　　　　 D、108种

分析：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为。故选A。

7、挖掘思想

例44、方程的正根个数为(　 )

A、0　　　　　　　　　　　　　 B、1　　　　　　　　　　　　　　 C、2　　　　　　　　　　　　　　 D、3

分析：本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标。

事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。

8、挖掘数据

例45、定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的均值为C。已知，则函数上的均值为(　 )

A、　　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　　　 D、10

分析：，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令,当时，，由此得故选A。

(二)选择题的几种特色运算

1、借助结论--速算

例29、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　)

A、　　　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　 D、

解析：借助立体几何的两个熟知的结论：(1)一个正方体可以内接一个正四面体；(2)若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。

2、借用选项--验算

例30、若满足，则使得的值最小的是　　 (　 )

A、(4.5，3)　　　　　　 B、(3，6)　　　　　　　　 C、(9，2)　　　　　　　　 D、(6，4)

解析：把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且的值最小，故选B。

3、极限思想--不算

例31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为，侧面与底面所成的二面角的平面角为，则的值是　　　　　　　　　(　)

A、1　　B、2　　C、－1　　D、

解析：当正四棱锥的高无限增大时，，则故选C。

4、平几辅助--巧算

例32、在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A、1条　　　　　　　 B、2条　　　　　　　　　　　 C、3条　　　　　　　　 D、4条

解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以A(1，2)为圆心，1为半径作圆A，以B(3，1)为圆心，2为半径作圆B。由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。

5、活用定义--活算

例33、若椭圆经过原点，且焦点F₁(1，0)，F_2­(3，0)，则其离心率为　(　 )

A、　　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　　　 D、

解析：利用椭圆的定义可得故离心率故选C。

6、整体思想--设而不算

例34、若，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A、1　　　　　　　　　　　　　 B、-1　　　　　　　　　　　　　 C、0　　　　　　　　　　　　　　 D、2

解析：二项式中含有，似乎增加了计算量和难度，但如果设，，则待求式子。故选A。

7、大胆取舍--估算

例35、如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为　　　　　　(　 )

A、　　　　　 B、5　　　 C、6　　　 　D、

解析：依题意可计算，而＝6，故选D。

8、发现隐含--少算

例36、交于A、B两点，且，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B、

C、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、

解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是，它过定点(0，2)，只有C项满足。故选C。

9、利用常识--避免计算

例37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在2001年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是　　　　　　　　　　(　 )

A、8%　　　　　　　　　　　 B、20%　　　　　　　　 C、32%　　　　　　　　 D、80%

解析：生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。

(一)数学选择题的解题方法

1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　(　 　)

解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。

　　　 故选A。

例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为(　　 )

A．0　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。

例3、已知F₁、F₂是椭圆+=1的两焦点，经点F₂的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF₁|+|BF₁|等于(　 )

A．11　　　　　　　　　　　 B．10　　　　　　　　　　　　　 C．9　　　　　　　　　　　　　　 D．16

解析：由椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=2a=8,|BF₁|+|BF₂|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF₂|+|BF₂|代入，得|AF₁|+|BF₁|＝11，故选A。

例4、已知在[0，1]上是的减函数，则a的取值范围是(　 )

A．(0，1)　 　B．(1，2)　　C．(0，2)　　　 D．[2，+∞)

解析：∵a>0,∴y₁=2-ax是减函数，∵ 在[0，1]上是减函数。

∴a>1，且2-a>0，∴1<a<2，故选B。

2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

(1)特殊值

例5、若sinα>tanα>cotα()，则α∈(　 )

A．(，)　　 B．(，0)　C．(0，)　　 D．(，)

解析：因，取α=－代入sinα>tanα>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。

例6、一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为(　　 )

A．－24　　　　　　　　　　　 B．84　　　　　　　　　　　　　 C．72　　　　　　　　　　　　　 D．36

解析：结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a₁=48,a₂=S₂－S₁=12，a₃=a₁+2d= －24，所以前3n项和为36，故选D。

(2)特殊函数

例7、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　 )

A.增函数且最小值为－5　　　　　　 B.减函数且最小值是－5

C.增函数且最大值为－5　　　　　　 D.减函数且最大值是－5

解析：构造特殊函数f(x)=x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。

例8、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是(　　 )

A．①②④　　　　　　　　　 B．①④　　　　　　　 C．②④　　　　　　　 D．①③

解析：取f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选B。

(3)特殊数列

例9、已知等差数列满足，则有　　　　(　　)

A、　B、　C、　D、

解析：取满足题意的特殊数列，则，故选C。

(4)特殊位置

例10、过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A、　　　 B、　　 　C、 　　　　D、

解析：考虑特殊位置PQ⊥OP时，，所以，故选C。

例11、向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是　 (　　 )

解析：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。

(5)特殊点

例12、设函数，则其反函数的图像是　　(　　 )

　　A、　　　　B、　　　　C、　　　　　D、

解析：由函数，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f^－1(x)的图像上，观察得A、C。又因反函数f^－1(x)的定义域为，故选C。

(6)特殊方程

例13、双曲线b²x²－a²y²=a²b² (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos等于(　 )

A．e　　　　　　　　　　 B．e²　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为－=1，易得离心率e=,cos=，故选C。

(7)特殊模型

例14、如果实数x,y满足等式(x－2)²+y²=3，那么的最大值是(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

解析：题中可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=，可将问题看成圆(x－2)²+y²=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。

3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。

例15、已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则(　)

A．α<β　　　　　　　　　　 B．sinα>sinβ　　

C．tanα>tanβ　　　　　　 D．cotα<cotβ

解析：在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。

例16、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜+3|=　　　(　)

　　　 A．　B．　　C．　　　 D．4

　解析：如图，+3＝，在中，由余弦定理得｜+3|=｜｜＝，故选C。

例17、已知{a_n}是等差数列，a₁=-9,S₃=S₇,那么使其前n项和S_n最小的n是(　 )

A．4　　　　 B．5　　　　 C．6　　　　 D．7

解析：等差数列的前n项和S_n=n²+(a₁-)n可表示

为过原点的抛物线，又本题中a₁=-9<0, S₃=S₇,可表示如图，

由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛

物线的对称轴，所以n=5时S_n最小，故选B。

4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

例如：用十六进制表示E+D=1B，则A×B=　　　　　　　　(　)

A.6E　　　　 B.72　　　　 C.5F　　　　 D.BO

解析：采用代入检验法，A×B用十进制数表示为1×11=110,而

6E用十进制数表示为6×16+14=110；72用十进制数表示为7×16+2=114

5F用十进制数表示为5×16+15=105；B0用十进制数表示为11×16+0=176，故选A。

例19、方程的解　　　　　　　　　　(　 )

A.(0，1)　　　 B.(1，2)　　　 C.(2，3)　　　 D.(3，+∞)

解析：若，则，则；若，则，则；若，则，则；若,则，故选C。

5、筛选法(也叫排除法、淘汰法)：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。

例20、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是(　　 )

A．(1，　　 　 B．(0，　　 C．[，]　　 　D．(，　　　

解析：因为三角形中的最小内角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故应选A。

例21、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率(　　 )

A．不会提高70%　　　　　 B．会高于70%，但不会高于90%

C．不会低于10%　　　　　 D．高于30%，但低于100%

解析：取x＝4，y＝·100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ·100%≈77.2%，排除A，故选B。

例22、给定四条曲线：①，②，③，④,其中与直线仅有一个交点的曲线是(　 )

A. ①②③　　　　　　　　　 B. ②③④　　　　　　 C. ①②④　　　　　　 D. ①③④

解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。

6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。

(1)特征分析法--根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。

例23、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线

表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时

间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传送信

息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内

传递的最大信息量为(　 )

A．26　 B．24　 C．20　 D．19

解析：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D。

例24、设球的半径为R,　 P、Q是球面上北纬60⁰圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是　　　　　　　　(　 )

A、　　　　 B、　　　　 C、　　　 D、

解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。

例25、已知，则等于 (　　　 )

　　　 A、　　 B、　　　 C、　　　 D、　

解析：由于受条件sin²θ+cos²θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。

(2)逻辑分析法--通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。

例26、设a,b是满足ab<0的实数，那么　　　　　　　　(　　 )

A．|a+b|>|a－b|　　　　　　 B．|a+b|<|a－b|　　 C．|a－b|<|a|－|b|　　　　 D．|a－b|<|a|+|b|

解析：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。

例27、的三边满足等式，则此三角形必是()

　　A、以为斜边的直角三角形　B、以为斜边的直角三角形

　　C、等边三角形　　　　D、其它三角形

　解析：在题设条件中的等式是关于与的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有，即，从而C被淘汰，故选D。

7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。

例28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为3150元(其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元)，预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元。根据以上数据，08年该地区人均收入介于　　　　　　　(　　　 )

(A)4200元~4400元　　　 (B)4400元~4460元

(C)4460元~4800元　　　 (D)4800元~5000元

解析：08年农民工次性人均收入为：

又08年农民其它人均收入为1350+160=2150

故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555(元)。故选B。

说明：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。

2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。“不择手段，多快好省”是解选择题的基本宗旨。

　 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。

解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1-3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。

高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。

12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)

1).恒成立问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

如(1)设实数满足，当时，的取值范围是______(答：)；(2)不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____(答：)；(3)若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____(答：(,))；(4)若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____(答：)；(5)若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.(答：)

2). 能成立问题

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______(答：)

3). 恰成立问题

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.